Passo a passo: Uma sessão de Martingale
Dez dólares no vermelho, duplicados após cada perda, numa mesa de $500. Lançamento a lançamento, incluindo o lançamento que lhe põe fim.
Uma sessão simulada de Martingale com uma banca de $1000. Quarenta e um pequenos ganhos, depois seis perdas seguidas e uma sétima aposta recusada. A sessão termina $220 abaixo depois de estar $410 acima, que é o que o sistema faz.
O plano
Aposte $10 no vermelhoapostaVermelhoAposta simples nos 18 números vermelhos. Em francês: rouge.Ler tudo →. Depois de uma perda, duplique. Depois de um ganho, volte a $10. O limite da mesamesaLimite da mesaAposta mínima e máxima permitidas. O máximo é o que trava as progressões de duplicação.Ler tudo → é $500, pelo que as apostas são 10, 20, 40, 80, 160, 320 e depois uma aposta de $640 que a mesa vai recusar. Seis perdas consecutivas fazem falhar o sistema; cada tentativa tem (19/37)⁶ ≈ 1,8% de o conseguir, e uma sessão de 100 lançamentos contém cerca de 50 tentativas. Esperado: cerca de 60% de probabilidade de o sistema falhar em 100 lançamentos e uma perda de $630 quando falha.
Lançamentos 1–30
MartingaleestratégiaMartingaleProgressão que duplica a aposta após cada perda. Veja na secção Estratégia o que faz e o que não faz.Ler tudo → normal: séries de uma a três perdas, cada uma terminada por um ganho que rende +$10. No lançamento 30 tivemos 17 ganhos, cada um a fechar um ciclo, e estamos $170 acima. A maior aposta até agora foi de $80, após três perdas. Parece uma máquina de imprimir notas de $10.
Lançamentos 31–60
Mais do mesmo, com um ciclo de quatro perdas (apostas até $160, depois um ganho) que durante um momento pôs $310 sobre a mesa e pareceu coragem. Após 60 lançamentos: 41 ciclos concluídos, $410 acima, e o ponto mais baixo da bancadinheiroBancaO montante total reservado para jogar. A gestão de banca consiste em decidir que parte dela arriscar por aposta e por sessão.Ler tudo → foi $1040. O histograma de qualquer sessão de Martingale tem este aspeto durante quase toda a sua extensão.
Lançamentos 61–66
P P P P P P. Apostas 10, 20, 40, 80, 160, 320: $630 perdidos. A aposta seguinte seria $640; o limite é $500. O sistema falhou. Podemos apostar $500 (e, se ganhar, ficar ainda $130 abaixo no ciclo) ou voltar a $10 e aceitar a perda. Seis pretosapostaPretoAposta simples nos 18 números pretos. Em francês: noir.Ler tudo → ou zerosrodaZeroO único compartimento verde, que nenhuma aposta simples, dúzia ou coluna cobre; a origem da vantagem da casa. Também: zero único, 0.Ler tudo → seguidos têm probabilidadematemáticaProbabilidadeMedida da possibilidade de um resultado, de 0 a 1 ou de 0% a 100%. Um número: 1/37 = 2,70%.Ler tudo → de 1,8% por ciclo. Já tínhamos feito cerca de 45 ciclos. A probabilidade de chegar a este ponto nalgum momento de 45 ciclos era de cerca de 55%. Não foi má sorte; foi a mediana.
- p10 −$1000
- p25 −$1000
- mediana −$1000
- p75 +$790
- p90 +$1690
As contas
$410 acima após 60 lançamentos, $220 abaixo após 66. Total apostado: cerca de $2100 em 66 lançamentos, contra $660 de quem aposta $10 fixos. A perda esperadamatemáticaPerda esperadaValor esperado vezes o montante total apostado; o montante perdido em média ao longo de uma sessão ou de um período.Ler tudo → sobre $2100 de volume de apostasdinheiroVolume de apostasO montante total apostado ao longo de uma sessão ou de um período, contando os ganhos reapostados. Também: handle, action.Ler tudo → é $57; os nossos −$220 reais ficam cerca de um terço de desvio-padrãomatemáticaDesvio-padrãoRaiz quadrada da variância; a distância típica entre um resultado e o valor esperado.Ler tudo → abaixo, o que não tem nada de invulgar num sistema cuja distribuição tem uma longa cauda à esquerda. Se tivéssemos parado no lançamento 60 com um limite de ganhosestratégiaLimite de ganhosUm objetivo de lucro definido de antemão (stop-win) no qual termina a sessão.Ler tudo → de $400, teríamos saído com +$410, e a sessão seguinte teria os mesmos 1,8% por ciclo.
O que a sessão mostra
A Martingale converte uma aposta de 48,65% numa sequência que ganha 98% dos seus ciclos e perde 63 unidadesdinheiroUnidadeA aposta base em que um sistema ou um jogador trabalha. As progressões são descritas em unidades para se aplicarem a qualquer mesa.Ler tudo → nos outros 2%. Não altera a perda esperada por dólar; multiplica os dólares. Quem aposta um valor fixo ao nosso lado apostou um terço do montante e perdeu, em média, um terço. O jogador que use este sistema durante um ano vai ganhar a maioria das noites e perder o ano.
Com que frequência surge uma sequência de perdas
Uma aposta simples numa roda de zero único perde 19 lançamentos em 37. Cada linha é a probabilidade de todos os lançamentos de uma dada sequência perderem, e o que um jogador de Martingale, que duplica após cada perda, já perdeu até aí.
| perdas seguidas | probabilidade | cerca de 1 em | já perdido | aposta seguinte |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26,4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13,5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7,0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3,6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1,8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0,94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0,48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0,25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0,13% | 784 | $1023 | $1024 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $2047 | $2048 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $4095 | $4096 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $8191 | $8192 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $16 383 | $16 384 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $32 767 | $32 768 |
A probabilidade é 19/37 multiplicado por si mesmo uma vez por cada perda, contada a partir de um dado lançamento. Uma sessão longa tem muitos lançamentos em que uma sequência destas pode começar, pelo que ao longo de uma noite é muito mais provável do que uma linha sugere.
Perguntas
Nove perdas fazem-no falhar em vez de seis: 0,25% por ciclo, e $5110 perdidos quando acontece. Precipício mais raro, precipício mais alto, os mesmos −2,70%.
Teria ganho em 48,65% das vezes e deixado o ciclo em −$130 de qualquer forma. Não há uma boa jogada depois de uma Martingale falhada; há apenas a aposta que escolher a seguir.
Sim, nessa sessão. Não na média de todas as sessões.
Matemática por prazer
Tente primeiro resolvê-los sozinho. Cada solução está escondida; abra-a quando estiver pronto.
Numa mesa de $1 a $500, um jogador de MartingaleestratégiaMartingaleProgressão que duplica a aposta após cada perda. Veja na secção Estratégia o que faz e o que não faz.Ler tudo → começa com $1 no vermelhoapostaVermelhoAposta simples nos 18 números vermelhos. Em francês: rouge.Ler tudo → numa roda de zerorodaZeroO único compartimento verde, que nenhuma aposta simples, dúzia ou coluna cobre; a origem da vantagem da casa. Também: zero único, 0.Ler tudo → único. Quantas perdas seguidas param a duplicação, quanto já se perdeu nessa altura, e com que frequência acontece?
Mostrar a solução
Resposta Nove perdas: $511 perdidos, e a aposta seguinte seria de $512. Acontece uma vez em cerca de 403 sequências.
As apostas são 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 e 256: no total, $511. A décima seria de $512, acima do limite. Uma aposta de $500 que ganhe deixa o jogador ainda a perder $11; uma que perca deixa-o a perder $1011.
O vermelho perde com probabilidade 19/37, por isso nove perdas seguidas têm uma probabilidade de (19/37)⁹ ≈ 0,25%, uma vez em cerca de 403 sequências. Cada sequência concluída ganha $1, pelo que o jogador espera cerca de $402 de pequenos ganhos antes da única perda de $511, e os 2,70% de tudo o que foi apostado continuam a perder-se em média.
Numa roda de duplo zero, a probabilidade é (20/38)⁹, uma vez em cerca de 323. Bollman (2021) indica “cerca de 1 em 833”, que é (18/38)⁹, a probabilidade de nove ganhos seguidos.
Pausa cómica
Quarenta e um pequenos ganhos e uma grande perda. É este o sistema todo.
Fontes
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”