Rodas invulgares
Rodas com 18, 25, 26, 31, 40, 49, 62, 73 ou 105 compartimentos. Uma única regra dá o preço de quase todas: a proporção de compartimentos que os pagamentos ignoram.
Quando os pagamentos são fixados como se os compartimentos da casa não existissem, a vantagem da casamatemáticaVantagem da casaA parte de cada aposta que o casino retém em média: 2,70% na roleta europeia.Ler tudo → é o número de compartimentos da casa dividido pelo total de compartimentos, seja qual for o tamanho da roda. A maioria das rodas invulgares segue essa regra. As interessantes quebram-na: um pagamento arredondado, uma ronda de bónus ou uma aposta que se mantém durante vários lançamentos.
Uma regra para todas as rodas
A roleta europeiavarianteRoleta europeiaRoda de zero único, 37 compartimentos, vantagem da casa de 2,70%. O modelo de referência neste site.Ler tudo → paga 35 para 1 como se a roda tivesse 36 compartimentosequipamentoCompartimentoUma das 37 divisões numeradas do rotor. Também: célula, alvéolo.Ler tudo →. Tem 37, e o compartimento em falta é a vantagem de 2,70%. A mesma regra funciona em qualquer roda: com N números e Z compartimentos da casa, uma aposta em n números que paga (N − n)/n para 1 tem uma vantagem de Z/(N + Z). Foram construídas ou propostas rodas de todos os tamanhos com base nesta regra, e a tabela ordena-as por preço.
Maior pode ser mais barato
Os jogadores veem uma roda de 62 compartimentos como uma aposta mais arriscada e presumem um jogo pior. A vantagem depende apenas da proporção de compartimentos da casa. A Super 62 tem dois zerosrodaZeroO único compartimento verde, que nenhuma aposta simples, dúzia ou coluna cobre; a origem da vantagem da casa. Também: zero único, 0.Ler tudo →, como a roda americana, mas são 2 em 62 compartimentos em vez de 2 em 38, pelo que custa 3,23% contra 5,26%. A Roulette 73, com 72 números e um zero, custaria 1,37%, aproximadamente o mesmo que as apostas simples na francesa. Numa roda pequena, a regra funciona ao contrário. Bollman imagina uma roda antiga de 18 compartimentos, do 1 ao 16 mais o 0 e o 00. Segundo a regra, todas as apostas custariam 2/18, 11,11%: dois compartimentos da casa são uma grande parte de uma roda pequena.
Onde a regra falha: arredondamentos
Um pagamentodinheiroPagamentoO que uma aposta vencedora devolve, indicado como “X para 1” além da aposta devolvida.Ler tudo → tem de ser um valor razoável em fichasdinheiroFichaUma peça que representa um montante fixo, colocada no pano para fazer uma aposta. Também: cheque.Ler tudo →, e quando a regra dá uma fração o casino arredonda para baixo. A aposta Avenue da 100 To 1 Roulette cobre 15 compartimentos e deveria pagar 5⅔ para 1; paga 11 para 2, o que sobe a sua vantagem de 4,76% para 7,14%. Na Super 62, sete números contêm o algarismo 6 (6, 16, 26, 36, 46, 56, 60) e a aposta nesse algarismo paga 7 para 1, o que a põe em 9,68%, o triplo do resto do panoequipamentoPanoA grelha de apostas impressa na mesa. Também: mesa, feltro, tapete.Ler tudo →. A aposta White da Riverboat Roulette cobre 8 números a 7 para 2; numa mesa sem fichas de 50 cêntimos, um ganho de $5 é pago com $17 em vez de $17,50, o que sobe a vantagem de 5,26% para 7,37%. A aposta americana de cinco números, a 7,89%, é o caso conhecido da mesma coisa.
Onde a regra falha: bónus
A Fast Action Roulette, lançada no Marina Bay Sands em 2020, usa uma roda real com quatro zeros, que por si só custaria 10%. Em cada lançamento acendem-se ao acaso dez números Bonus. Um plenoapostaPlenoUm único número, paga 35:1.Ler tudo → paga 35 para 1, 40 para 1 se o seu número for um número Bonus e 80 para 1 se toda a sua fila de quatro for Bonus, o que o leva a 6,65%. As outras três apostas do jogo custam muito mais. A Double Bonus Spin da IGT acrescenta a uma roda americana um compartimento Bonus amarelo, com uma vez e meia a largura de um compartimento; quando a bolaequipamentoBolaA pequena bola lançada ao longo da pista no sentido contrário ao do rotor. As bolas modernas são de ivorine ou de Teflon, com 18–21 mm.Ler tudo → cai aí, todas as apostas recebem dois lançamentos grátis. Pelas nossas contas, isso baixa a vantagem para entre 1,94% (um pleno) e 2,73% (aposta simples), abaixo da roda americana normal. Bollman (2021) indica 3% a 16% para este jogo; a sua fórmula simplificada tem um erro de álgebra e, nas apostas simplesapostaAposta simplesVermelho/preto, ímpar/par, alto/baixo. 18 números, paga 1:1.Ler tudo →, implica que os lançamentos grátis perdem mais do que a aposta, o que não é possível.
Onde a regra falha: apostas que se mantêm
A Riverboat Roulette (2012) deu uma segunda cor a 32 números de uma roda americana. O White marca os quatro compartimentos à volta de cada zero (1, 2, 9, 10, 13, 14, 27, 28). Uma aposta num grupo de cor ganha se um dos seus números sair antes de um dos oito números White. Um número White é um “White Out”, que limpa todas as apostas de cor. Qualquer outro número é um empate: a aposta mantém-se e, entre lançamentos, pode ser retirada ou aumentada. O Teal cobre três números e paga 2 para 1. Por aposta resolvida, perde 2/11 da aposta, 18,18%. Por lançamento, perde 2/38, os conhecidos 5,26%, porque a aposta média se mantém 38/11, cerca de 3,5 lançamentos.
Uma roda que Thorp conseguia prever: a Big Six
A Big Six, ou roda da fortuna, é uma grande roda vertical com 54 segmentos: 24 pagam 1 para 1, 15 pagam 2 para 1, sete 5 para 1, quatro 10 para 1, dois 20 para 1, e dois segmentos com logótipo pagam 40 para 1. Não há zero; a casa fica com a sua parte pagando menos do que o justo, e a vantagem vai de 11,1% nos segmentos que pagam 1 para 1 a 24,1% nos logótipos. Em 1961, Thorp construiu para ela um preditor do tamanho de uma caixa de fósforos, acionado por um interruptor no dedo do pé, e em 1981, cronometrando uma volta de uma roda de casino com um relógio de pulso, descobriu que normalmente conseguia indicar o ponto de paragem com uma margem de cinco segmentos. Apostar apenas nos segmentos que pagam mais perto da previsão teria rendido cerca de +211%, se as apostas fossem aceites depois de a roda ser posta a girar. Não são, e a roda gira devagar e à vista de todos, por isso uma aposta tardia seria óbvia; Thorp escreveu que o jogo tinha demasiado pouco movimento para a disfarçar.
Porque é que tão poucas pegam
Uma roda profissional custa milhares de dólares, e uma roda com um número invulgar de compartimentos tem de ser feita por encomenda. Por isso, a maioria dos novos jogos de roleta mantém a roda normal e acrescenta apostas, e é por isso que a página das apostas paralelas é mais longa do que esta. A roda da águia de 31 compartimentos da América do século XIX, a 12,90% num número único e 9,68% em tudo o resto, morreu do seu próprio preço. A ideia de um terceiro compartimento da casa regressou em 2016 numa roda de 39 compartimentos, onde custa 7,69%.
Perguntas
Não por si só. A vantagem é a proporção de compartimentos da casa: 1 em 73 é mais barato do que 1 em 37.
A Roulette 73, a 1,37%, mas é um projeto publicado e não uma mesa que seja provável encontrar. Entre as rodas que foram oferecidas aos jogadores, a Super 62, a 3,23%, vem logo a seguir à europeia e à francesa.
Um bónus tem de ser pago, normalmente com um corte no pagamento base ou com uma aposta separada com uma vantagem elevada.
Matemática por prazer
Tente primeiro resolvê-los sozinho. Cada solução está escondida; abra-a quando estiver pronto.
A Royal Roulette, desenvolvida na Austrália, tem 50 compartimentosequipamentoCompartimentoUma das 37 divisões numeradas do rotor. Também: célula, alvéolo.Ler tudo →: as 48 cartas do 2 ao rei, mais um ás e um joker. Uma carta única paga 47 para 1, duas cartas 23 para 1, três 15 para 1, quatro 11 para 1, seis 7 para 1, oito 5 para 1, doze 3 para 1, dezasseis 2 para 1 e vinte e quatro 1 para 1. Que regra produz estes pagamentosdinheiroPagamentoO que uma aposta vencedora devolve, indicado como “X para 1” além da aposta devolvida.Ler tudo →, e quanto custa cada aposta?
Mostrar a solução
Resposta Cada aposta em n cartas paga (48 − n)/n para 1, pelo que todas as apostas custam 2/50 = 4%.
Experimente a regra em algumas apostas: 47/1 = 47, 36/12 = 3, 32/16 = 2, 24/24 = 1. Serve para as nove. A regra trata a roda como se tivesse 48 compartimentos, pelo que o ás e o joker são os dois compartimentos da casa, exatamente como o 0 e o 00 numa roda americana.
Dois compartimentos da casa em 50 dão uma vantagem de 4%. Uma versão “europeia” tira o joker e mantém os pagamentos: um compartimento da casa em 49, uma vantagem de 2,04%.
A Super 62 tem uma aposta em que um algarismo escolhido aparece no número vencedor. Desenhe a mesma aposta para uma roda americana normal. Quantos dos números de 1 a 36 contêm cada algarismo, e que pagamentos manteriam os 5,26% habituais?
Mostrar a solução
Resposta Só os algarismos com 3 ou 4 números têm pagamentos certos (11 para 1 e 8 para 1). Os algarismos 1, 2 e 3 não se podem pagar com justiça em fichasdinheiroFichaUma peça que representa um montante fixo, colocada no pano para fazer uma aposta. Também: cheque.Ler tudo → inteiras.
Conte os números. O algarismo 1 aparece no 1, do 10 ao 19, no 21 e no 31: 13 números. O algarismo 2 também está em 13 números e o 3 em 10. Os algarismos 4, 5 e 6 estão em quatro números cada (4, 14, 24, 34), e o 7, o 8 e o 9 em três cada.
Uma aposta em n números mantém a vantagem americana se pagar (36 − n)/n para 1. Isso dá 8 para 1 para quatro números e 11 para 1 para três, ambos inteiros. Para 13 números dá 23/13, cerca de 1,77 para 1, e para 10 números 2,6 para 1. Arredonde 1,77 para baixo, para 7 para 4, e a aposta custa 5,92%; arredonde-o para cima, para 2 para 1, e o jogador fica com uma vantagem de 2,63%. Arredondar 2,6 para baixo, para 5 para 2, dá 7,89%.
O algarismo 0 é uma escolha: o 10, o 20 e o 30 sozinhos pagam 11 para 1 a 5,26%; junte o 0 e o 00 e passa a ser uma aposta de cinco números, 6 para 1 a 7,89%, como a aposta de cinco númerosapostaQuatro primeirosNuma roda de zero único: 0, 1, 2, 3 com uma ficha, paga 8:1. Também: basket, quatre premiers.Ler tudo →.
algarismonúmerosa regra dápoderia pagarvantagem da casa1, 2131,77 para 17 para 45,92%3102,6 para 15 para 27,89%4, 5, 648 para 18 para 15,26%7, 8, 9311 para 111 para 15,26%A 100 To 1 Roulette paga (100 − n)/n para 1 na maioria das apostas, numa roda de 100 números e 5 símbolos da casa. As suas apostas cobrem 1, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 20 ou 50 compartimentos e pagam 100, 49, 32, 24, 19, 9, 11 para 2, 4 e 1 para 1. O plenoapostaPlenoUm único número, paga 35:1.Ler tudo → e a Avenue de 15 compartimentos fogem à regra. Que outra aposta foge, e quanto custa?
Mostrar a solução
Resposta A aposta de três compartimentos: a regra dá 32⅓ para 1, paga 32 para 1, e custa 5,71% em vez de 4,76%.
Compare cada pagamento com a regra: 98/2 = 49, 96/4 = 24, 95/5 = 19, 90/10 = 9, 80/20 = 4 e 50/50 = 1 batem todos certo. Para três compartimentos, a regra dá 97/3 = 32⅓, que nenhuma ficha consegue pagar, por isso arredonda-se para baixo, para 32.
A aposta ganha 3 vezes em 105 lançamentos e então devolve 33 unidadesdinheiroUnidadeA aposta base em que um sistema ou um jogador trabalha. As progressões são descritas em unidades para se aplicarem a qualquer mesa.Ler tudo →, aposta incluída: 3 × 33 = 99 unidades devolvidas por cada 105 apostadas, uma perda de 6/105 = 5,71%.
A Roulette 73, um projeto publicado, tem 72 números e um zerorodaZeroO único compartimento verde, que nenhuma aposta simples, dúzia ou coluna cobre; a origem da vantagem da casa. Também: zero único, 0.Ler tudo →, e todas as apostas pagam (72 − n)/n para 1. Os seus 24 números cinzentos podem ser cobertos com 14 fichas: 4 plenos e 10 cavalosapostaCavaloDois números adjacentes, paga 17:1.Ler tudo →. Quanto custa essa aposta de 14 fichas?
Mostrar a solução
Resposta 1,37% das 14 fichas, como qualquer outra aposta nessa roda.
O caminho longo: um pleno paga 71 para 1 e um cavalo 35 para 1. Se sair um dos 4 números dos plenos, ganha 71 e perde as outras 13 fichas: +58. Se sair um dos 20 números dos cavalos: +35 − 13 = +22. Nos outros 49 compartimentos perde as 14. Em média, em 73 lançamentos: 4 × 58 + 20 × 22 − 49 × 14 = 232 + 440 − 686 = −14 unidades, ou seja, 1/73 de cada ficha.
O caminho curto: os valores esperadosmatemáticaValor esperadoO resultado médio por aposta a longo prazo. −1/37 da aposta em todas as apostas normais da roleta europeia.Ler tudo → somam-se. Cada ficha é uma aposta normal que perde 1/73 de si mesma, por isso 14 fichas perdem 14/73. Combinar apostas muda a forma como os resultados se distribuem, nunca o que custam.
A Super 62 tem 60 números, o 0 e o 00, e paga (60 − n)/n para 1. Os seus criadores também a desenharam com um, três e quatro compartimentos da casa. A Alphabetic Roulette paga (24 − n)/n para 1 em 25 compartimentos, e tem uma variante com o Y e o Z em compartimentos próprios. Dê o preço das cinco.
Mostrar a solução
Resposta Com um a quatro zeros: 1,64%, 3,23%, 4,76% e 6,25%. A Alfabética com o Y e o Z separados: 7,69%.
Cada uma mantém os seus pagamentos e só muda o número de compartimentos da casa, por isso a vantagem é compartimentos da casa ÷ total de compartimentos.
Um zero, 61 compartimentos: 1/61 = 1,64%. Dois, 62 compartimentos: 2/62 = 3,23%. Três, 63 compartimentos: 3/63 = 4,76%. Quatro, 64 compartimentos: 4/64 = 6,25%. Cada zero a mais custa cerca de ponto e meio.
A Alfabética paga como se tivesse 24 letras. Com o Y e o Z a partilhar um compartimento, a casa tem 1 em 25, 4%. Com o Y e o Z separados, tem 2 em 26, 7,69%, tanto como uma roda de triplo zero. Dividir um compartimento em dois quase duplicou o preço.
rodacompartimentoscompartimentos da casavantagem da casa60 números, um zero6111,64%Super 626223,23%60 números, três zeros6334,76%Super 646446,25%Alfabética2514,00%Alfabética, Y e Z separados2627,69%Uma roda antiga tem 18 compartimentos: do 1 ao 16, o 0 e o 00. Os números ímpares e o 0 são vermelhosapostaVermelhoAposta simples nos 18 números vermelhos. Em francês: rouge.Ler tudo →, os pares e o 00 pretosapostaPretoAposta simples nos 18 números pretos. Em francês: noir.Ler tudo →, e os 16 números estão num panoequipamentoPanoA grelha de apostas impressa na mesa. Também: mesa, feltro, tapete.Ler tudo → de 4 por 4. Desenhe uma tabela de pagamentosdinheiroTabela de pagamentosA lista do que paga cada aposta ou resultado. Nas máquinas e nas apostas paralelas, é aí que se define a vantagem da casa.Ler tudo → que dê a todas as apostas a mesma vantagem. E porque é que o 0 tem de perder uma aposta no vermelho, apesar de ser vermelho?
Mostrar a solução
Resposta Pagar (16 − n)/n para 1: 15 para 1 num número, 7 em dois, 3 em quatro, 1 em oito. Todas as apostas custam 11,11%. Se o 0 ganhasse a aposta no vermelho, o vermelho seria uma aposta justa.
Dê o preço à roda como se o 0 e o 00 não existissem. Uma aposta em n números ganha n vezes em 18 e paga (16 − n)/n para 1, por isso devolve 16 unidades, aposta incluída, por cada 18 apostadas. Todas as apostas custam 2/18, 11,11%.
As apostas naturais do pano dão números inteiros: um número 15 para 1, dois lado a lado 7 para 1, uma fila ou uma colunaapostaColunaDoze números numa coluna vertical do pano, paga 2:1.Ler tudo → de quatro 3 para 1, e duas filas, ou os oito ímpares, pares, baixos ou altos, 1 para 1. Uma aposta em três números precisaria de 4⅓ para 1; arredondada para baixo, para 4 para 1, custa 16,67%.
O vermelho cobre os oito números ímpares. Se o 0, por ser vermelho, também ganhasse a aposta no vermelho, o vermelho cobriria 9 dos 18 compartimentos a 1 para 1: um jogo justomatemáticaJogo justoUm jogo em que nenhum dos lados tem vantagem: todas as apostas têm um valor esperado de zero.Ler tudo →, sem vantagem nenhuma. Os compartimentos da casa só ganham a sua vantagem perdendo todas as apostas, exceto uma aposta neles próprios.
Pausa cómica
Conte os compartimentos da casa e depois procure o arredondamento.
Fontes
- Bollman, M. Mathematics of the Big Four Casino Table Games: Blackjack, Baccarat, Craps, & Roulette.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Thorp, E. O. “The invention of the first wearable computer.”