Falácia do jogador
A crença de que um resultado está “atrasado” porque não aparece há algum tempo.
Após dez vermelhos, a probabilidade de preto continua a ser 18/37. A roda não guarda registo e não deve nada a ninguém.
A falácia
Se saiu vermelhoapostaVermelhoAposta simples nos 18 números vermelhos. Em francês: rouge.Ler tudo → dez vezes, muitos jogadores sentem que o pretoapostaPretoAposta simples nos 18 números pretos. Em francês: noir.Ler tudo → está “atrasado” e apostam em conformidade. Outros sentem que o vermelho está “quente” e apostam nele. Ambos raciocinam a partir de uma sequência que já terminou para um lançamento que ainda não aconteceu. A bolaequipamentoBolaA pequena bola lançada ao longo da pista no sentido contrário ao do rotor. As bolas modernas são de ivorine ou de Teflon, com 18–21 mm.Ler tudo → não sabe quais foram os últimos dez lançamentos; os compartimentosequipamentoCompartimentoUma das 37 divisões numeradas do rotor. Também: célula, alvéolo.Ler tudo → têm o mesmo tamanho que tinham há uma hora; a probabilidadematemáticaProbabilidadeMedida da possibilidade de um resultado, de 0 a 1 ou de 0% a 100%. Um número: 1/37 = 2,70%.Ler tudo → de preto é 18/37, como sempre foi.
Porque parece verdadeira
A longo prazo, as proporções de vermelho e de preto convergem de facto para 18/37 cada. A lei dos grandes númerosmatemáticaLei dos grandes númerosA média de resultados independentes converge para o valor esperado à medida que o número de ensaios aumenta.Ler tudo → garante-o. Mas a convergência dá-se por diluição, não por correção: após mais 1000 lançamentos, os dez vermelhos a mais são um erro de arredondamento na proporção, não porque o preto tenha recuperado, mas porque a amostra cresceu. Não existe nenhum mecanismo que torne o preto mais provável, e a lei dos grandes números também não exige nenhum.
Monte Carlo, 18 de agosto de 1913
Saiu preto 26 vezes seguidas numa mesa do Casino de Monte-Carlo. A partir do décimo quinto preto, os jogadores acumularam-se no vermelho, a dobrar e a redobrar, cada lançamento “mais certo” do que o anterior. O casino ganhou milhões de francos. A sequência tinha probabilidade de 1 em 137 milhões a partir do primeiro preto, e a probabilidade de que acabasse por acontecer em algum lado nos casinos do mundo era essencialmente um. É por isso que a falácia do jogador também se chama falácia de Monte Carlo.
Nada de especial. Acontece uma vez em 44.
Os jogadores começam a reparar. O vermelho está “atrasado”.
A mesa está cheia. As apostas no vermelho dobram a cada perda.
Fortunas perdidas. Cada novo preto faz o vermelho parecer mais certo.
A sequência termina. O casino ganhou milhões de francos a quem apostava contra uma sequência que não podia “saber” que era uma sequência.
A mão quente
Apostar numa cor porque está numa sequência é o mesmo erro virado ao contrário: espera-se que a sequência continue em vez de acabar. Os psicólogos chamam-lhe mão quentemitoMão quenteA crença de que uma sequência de ganhos, ou de um mesmo resultado, torna outro mais provável. Na roda, é a falácia do jogador virada ao contrário.Ler tudo →, a partir de um estudo de 1985 de Gilovich, Vallone e Tversky que procurou sequências nos tiros ao cesto no basquetebol e não encontrou nenhuma além do acaso. Em 2018, Miller e Sanjurjo mostraram que o próprio teste estava enviesado: num registo curto, a proporção de cestos logo a seguir a um cesto fica, em média, abaixo da taxa global do jogador, pelo que um jogador sem mão quente nenhuma parece ligeiramente frio. Corrigidos, os mesmos dados mostram uma mão quente modesta. Uma pessoa pode aquecer; uma roda não tem fases boas nem más. Alguns jogadores mantêm as duas crenças ao mesmo tempo: uma sequência continua até ser “demasiado longa” e depois acaba. Numa roda equilibrada, todas as versões têm o mesmo valor esperadomatemáticaValor esperadoO resultado médio por aposta a longo prazo. −1/37 da aposta em todas as apostas normais da roleta europeia.Ler tudo → que escolher a cor atirando uma moeda ao ar: −2,70% da aposta.
Numa mesa real
Croson e Sundali (2005) viram 18 horas de vídeo de vigilância de uma mesa de duplo zerorodaZeroO único compartimento verde, que nenhuma aposta simples, dúzia ou coluna cobre; a origem da vantagem da casa. Também: zero único, 0.Ler tudo → num grande casino de Reno: 139 jogadores a fazer 24 131 apostas. Nas apostas simplesapostaAposta simplesVermelho/preto, ímpar/par, alto/baixo. 18 números, paga 1:1.Ler tudo →, os jogadores dividiram-se quase por igual entre seguir sequências curtas e contrariá-las. Após cinco iguais seguidos, inclinavam-se contra a sequência, e após seis ou mais, 85% das suas apostas iam para o lado oposto. Os mesmos jogadores mostravam a mão quente em relação a si próprios: após um ganho nos números, cobriam em média 13,6 números no lançamento seguinte, contra 9,2 após uma perda. A roda deles não mostrava sinais de viés, pelo que nada disto alterava o que qualquer um deles podia esperar.
Fora do casino
A mesma atração aparece onde se tomam decisões a sério. Clotfelter e Cook (1993) acompanharam o jogo diário de números do Maryland: o dinheiro apostado num número caía a pique logo que este saía e levava meses a recuperar, embora o sorteio não tenha memória. Chen, Moskowitz e Shue (2016) encontraram-na entre profissionais. Os juízes de asilo dos Estados Unidos tinham até 3,3 pontos percentuais mais probabilidade de recusar um pedido se tivessem deferido o anterior. Os árbitros de basebol tinham 1,5 pontos menos probabilidade de marcar um strike depois de terem marcado um, e mais do dobro disso nos arremessos duvidosos. Numa experiência de campo com analistas de crédito pagos por um valor fixo, até 9% das decisões foram invertidas desta forma. Os casos chegavam por ordem aleatória, pelo que a última decisão nada dizia sobre a seguinte, tal como o último lançamento nada diz sobre o próximo.
A falácia inversa do jogador
O filósofo Ian Hacking (1987) deu nome a uma terceira versão. Alguém entra numa sala, vê um par de dados cair em duplo seis e conclui que já devem ter sido lançados muitas vezes. Qualquer lançamento dos dados tem a mesma probabilidade de dar duplo seis, seja o primeiro da noite ou o milésimo, pelo que aquilo que se viu nada diz sobre há quanto tempo dura o jogo. Na roleta, é o jogador que chega a um painel de resultados com oito vermelhos e decide que a roda deve estar a girar há horas para os produzir. A falácia comum projeta o passado no lançamento seguinte; esta projeta uma visão rara num passado que ninguém viu.
Um psicólogo que acreditava nela
A falácia teve defensores eruditos. O psicólogo alemão Karl Marbe percorreu quatro registos de 49 152 nascimentos cada, verificou que a sequência mais longa de rapazes ou de raparigas seguidos era de 17 e concluiu que as sequências longas são mais raras do que o acaso permite, pelo que uma sequência torna o outro resultado mais provável. O acaso, por si só, diz outra coisa: em 196 608 nascimentos, uma sequência de 17 ou mais aparece cerca de quatro vezes em cinco. Marbe tinha encontrado exatamente o aspeto de uma sequência aleatória. Epstein (2013) reconta o caso; Probabilidade de sequências dá a versão da roleta.
Onde a falácia não se aplica
Se a roda fosse fisicamente enviesada, os lançamentos passados seriam informativos, porque seriam prova sobre os compartimentos e não sobre a sorte. Esse é o tema do Laboratório, e exige milhares de lançamentos de uma roda identificada para dizer alguma coisa. Para uma sequência de dez vermelhos numa roda desconhecida, a explicação do viés é muito menos provável do que a do acaso.
Perguntas
Não. Aplica-se a qualquer acontecimento independente e repetido: dados, moedas, números da lotaria.
As proporções vão ficar próximas. O seu resultado continuará a ser cerca de −2,70% do que apostou.
Não existe nenhuma lei das médias. Existe uma lei dos grandes números, e funciona por diluição.
Matemática por prazer
Tente primeiro resolvê-los sozinho. Cada solução está escondida; abra-a quando estiver pronto.
Ao fim de 10 lançamentos, uma moeda mostra 7 caras e 3 coroas. Ao fim de 1000 lançamentos, mostra 517 caras e 483 coroas. As coroas recuperaram o atraso?
Mostrar a solução
Resposta Não. A diferença cresceu de 4 para 34. Só a proporção se aproximou do equilíbrio.
A proporção entre caras e coroas desceu de 7/3, cerca de 2,33, para 517/483, cerca de 1,07. É a lei dos grandes númerosmatemáticaLei dos grandes númerosA média de resultados independentes converge para o valor esperado à medida que o número de ensaios aumenta.Ler tudo → a funcionar.
A diferença entre elas cresceu, de 4 para 34. Com uma moeda equilibrada, uma diferença de cerca de 30 ao fim de 1000 lançamentos é normal: a diferença típica cresce aproximadamente com a raiz quadrada do número de lançamentos, enquanto a proporção se aproxima de 1.
Nada puxou as coroas para trás. O excesso inicial de caras foi diluído pelos 990 lançamentos seguintes, não corrigido.
Atire uma moeda ao ar quatro vezes e olhe apenas para os lançamentos que vêm logo a seguir a uma cara. Que proporção desses dá cara? Calcule-a para cada uma das 16 sequências possíveis e faça a média das proporções. É 50%?
Mostrar a solução
Resposta Não. É 17/42, cerca de 40,5%. Vista desta forma, uma moeda equilibrada parece arrefecer depois de uma cara.
Liste as 16 sequências (H = cara, T = coroa). Duas delas, TTTT e TTTH, não têm nenhuma cara entre os três primeiros lançamentos, pelo que nada vem a seguir a uma cara; restam 14.
Em cada uma, tome os lançamentos que se seguem a uma cara e veja que proporção dá cara. HHHH dá 3 em 3. HHHT dá 2 em 3. HTHT dá 0 em 2. Percorrendo as 14: seis sequências dão 0, quatro dão 1/2, uma dá 2/3 e três dão 1 (HHHH, THHH e TTHH).
Some as proporções: 4 × 1/2 + 2/3 + 3 = 17/3. Divida por 14: 17/42 ≈ 40,5%.
Nenhum lançamento favorece a coroa; cada um é 50–50. A inclinação vem de fazer a média sequência a sequência: uma sequência cheia de caras tem muitos lançamentos para observar mas conta uma vez, tal como uma sequência com uma só cara. Miller e Sanjurjo (2018) mostraram que o estudo de 1985 sobre a mão quente tinha medido os seus jogadores de basquetebol desta forma, pelo que jogadores que não pareciam ter mais sequências do que o acaso tinham, na verdade, um pouco mais.
Pausa cómica
Diluição, não correção. A roda não deve nada.
Fontes
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Schwartz, D. G. Roll the Bones: The History of Gambling.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Croson, R. & Sundali, J. “The gambler’s fallacy and the hot hand: empirical data from casinos.”
- Chen, D. L., Moskowitz, T. J. & Shue, K. “Decision making under the gambler’s fallacy: evidence from asylum judges, loan officers, and baseball umpires.”
- Clotfelter, C. T. & Cook, P. J. “The ‘gambler’s fallacy’ in lottery play.”
- Gilovich, T., Vallone, R. & Tversky, A. “The hot hand in basketball: on the misperception of random sequences.”
- Miller, J. B. & Sanjurjo, A. “Surprised by the hot hand fallacy? A truth in the law of small numbers.”
- Hacking, I. “The inverse gambler’s fallacy: the argument from design. The anthropic principle applied to Wheeler universes.”