Probabilidade de sequências
As sequências longas de uma cor são comuns. Também não significam nada para o lançamento seguinte.
Cinco vermelhos seguidos: 2,7%. 10: 0,074%. Numa sessão de 200 lançamentos, uma sequência de seis da mesma cor aparece mais vezes do que não aparece.
Com que frequência surge uma sequência de perdas
Uma aposta simples numa roda de zero único perde 19 lançamentos em 37. Cada linha é a probabilidade de todos os lançamentos de uma dada sequência perderem, e o que um jogador de Martingale, que duplica após cada perda, já perdeu até aí.
| perdas seguidas | probabilidade | cerca de 1 em | já perdido | aposta seguinte |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26,4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13,5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7,0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3,6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1,8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0,94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0,48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0,25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0,13% | 784 | $1023 | $1024 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $2047 | $2048 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $4095 | $4096 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $8191 | $8192 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $16 383 | $16 384 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $32 767 | $32 768 |
A probabilidade é 19/37 multiplicado por si mesmo uma vez por cada perda, contada a partir de um dado lançamento. Uma sessão longa tem muitos lançamentos em que uma sequência destas pode começar, pelo que ao longo de uma noite é muito mais provável do que uma linha sugere.
Sequência isolada
A probabilidadematemáticaProbabilidadeMedida da possibilidade de um resultado, de 0 a 1 ou de 0% a 100%. Um número: 1/37 = 2,70%.Ler tudo → de os próximos k lançamentos serem todos vermelhoapostaVermelhoAposta simples nos 18 números vermelhos. Em francês: rouge.Ler tudo → é (18/37)ᵏ. Dois: 23,7%. Cinco: 2,7%. 10: 0,074%, cerca de 1 em 1350. 20: 1 em 1,8 milhões. 26, o recorde de Monte Carlo: 1 em 137 milhões. Estas são as probabilidades de uma sequência concreta começar num lançamento concreto, que é a pergunta que quase ninguém está realmente a fazer.
Numa sessão
A pergunta que as pessoas têm em mente é “vai aparecer uma sequência de k nalgum momento da minha sessão?”, e a resposta é muito maior do que (18/37)ᵏ, porque uma sessão de 200 lançamentos oferece quase 200 pontos de partida para uma sequência. Uma sequência de seis ou mais da mesma cor, vermelho ou pretoapostaPretoAposta simples nos 18 números pretos. Em francês: noir.Ler tudo →, aparece numa sessão de 200 lançamentos cerca de 94% das vezes; de oito ou mais, cerca de 47%; de dez ou mais, cerca de 14%. Se a cor for escolhida de antemão, as probabilidades descem para cerca de 75%, 27% e 7%. Quem passar uma noite à mesa verá sequências longas todas as noites.
Porque é que isto importa à Martingale
Toda a progressãoestratégiaProgressãoQualquer regra que altera a aposta em função dos resultados anteriores. As progressões negativas aumentam-na após as perdas, as positivas após os ganhos.Ler tudo → negativa tem uma duração de sequência que a quebra: seis perdas com base de $10 e limite de $500, 10 no FibonacciestratégiaFibonacciProgressão que segue a sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…: um passo em frente após uma perda, dois passos atrás após um ganho.Ler tudo →, cinco ao triplicar nas dúziasapostaDúzia1–12, 13–24 ou 25–36, paga 2:1.Ler tudo →. A probabilidade de uma sequência de seis perdas numa aposta simples é (19/37)⁶ ≈ 1,8% por tentativa, e uma sessão de 200 lançamentos contém talvez 100 tentativas, pelo que a quebra chega em cerca de quatro em cada cinco sessões dessa duração. As probabilidades das sequências são a razão pela qual o precipício não é raro.
Números quentes e frios
A mesma aritmética aplica-se aos plenosapostaPlenoUm único número, paga 35:1.Ler tudo →. Em 300 lançamentos, a contagem esperada por número é 8,1; o desvio-padrãomatemáticaDesvio-padrãoRaiz quadrada da variância; a distância típica entre um resultado e o valor esperado.Ler tudo → é cerca de 2,8. Algum número terá 15 acertos e algum terá 2 só por acaso, de cada vez. Um painel de resultados que destaca números “quentes” está a destacar o topo de uma distribuição normal. O Laboratório explica quantos lançamentos são precisos para que um número quentemitoNúmero quenteUm número que saiu recentemente mais vezes do que o esperado. Numa roda equilibrada não prevê nada.Ler tudo → signifique alguma coisa (milhares, de uma única roda identificada).
A independência é o essencial
Uma sequência de dez vermelhos não torna o preto mais provável, e também não torna o vermelho mais provável. Ambos são 18/37. As sequências são uma propriedade das sequências aleatórias e a sua ausência seria suspeita: uma sequência de 200 lançamentos sem nenhuma sequência maior do que quatro seria uma prova de adulteração muito mais forte do que uma com uma sequência de 12.
Fórmula
Perguntas
Os 26 pretos em Monte Carlo, a 18 de agosto de 1913, são o caso famoso. Foram relatados 32 vermelhos seguidos num casino americano em 1943. Ambos são compatíveis com o acaso, dado o número de lançamentos que os casinos realizam.
É 18/37 de qualquer das formas. Aposte o que o seu plano indica, ou nada.
Não. O viés manifesta-se em alguns compartimentosequipamentoCompartimentoUma das 37 divisões numeradas do rotor. Também: célula, alvéolo.Ler tudo → que saem mais vezes ao longo de milhares de lançamentos, não em sequências de uma cor.
Matemática por prazer
Tente primeiro resolvê-los sozinho. Cada solução está escondida; abra-a quando estiver pronto.
Quantos lançamentos de uma roda europeia são precisos, em média, até que cada um dos 37 números tenha saído pelo menos uma vez?
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Resposta Cerca de 155 lançamentos em média; a mediana é 147.
Conte a espera um número novo de cada vez. O primeiro lançamento mostra sempre um número novo. Depois de ter visto 1 número, 36 compartimentosequipamentoCompartimentoUma das 37 divisões numeradas do rotor. Também: célula, alvéolo.Ler tudo → em 37 são novos, por isso o número novo seguinte demora, em média, 37/36 lançamentos. Depois de ter visto k números, demora 37/(37 − k).
Some as esperas: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4,20 = 155,5 lançamentos.
A maior parte disso é o fim. Só o último número demora, em média, 37 lançamentos, e os últimos cinco cerca de 85. Numa roda americana, a mesma soma dá cerca de 161. É o problema do colecionador de cupões; o Wizard of Odds dá a mesma média.
Em 37 lançamentos de uma roda europeia, um lançamento por compartimento, quantos números diferentes deve esperar ver?
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Resposta Cerca de 23,6. Aproximadamente um terço dos números, cerca de 13, não sai de todo.
Pegue num número, por exemplo o 17. Em cada lançamento, não sai com probabilidade 36/37, por isso falha os 37 lançamentos com probabilidade (36/37)³⁷ ≈ 0,363.
Todos os números têm a mesma probabilidade, por isso, em média, faltam 37 × 0,363 ≈ 13,4 números e saem 37 − 13,4 ≈ 23,6, muitos deles duas vezes ou mais.
Os jogadores de roleta chamam a isto a lei dos terços. Não é lei nenhuma, apenas a aritmética das repetições: numa série tão longa como a roda, cerca de um terço dos números fica de fora, tanto numa roda equilibrada como em qualquer outra. Com 38 compartimentos, a proporção é também (37/38)³⁸ ≈ 0,363; para uma roda grande, estabiliza perto de 1/e ≈ 0,368.
Um amigo mostra-lhe duas listas de 50 cores, vermelhoapostaVermelhoAposta simples nos 18 números vermelhos. Em francês: rouge.Ler tudo → ou pretoapostaPretoAposta simples nos 18 números pretos. Em francês: noir.Ler tudo →, que diz virem de uma roda sem os zerosrodaZeroO único compartimento verde, que nenhuma aposta simples, dúzia ou coluna cobre; a origem da vantagem da casa. Também: zero único, 0.Ler tudo →. Uma muda de cor 25 vezes e a sua sequência mais longa é de seis. A outra muda 35 vezes e nunca passa de três seguidas. Qual delas foi inventada?
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Resposta A segunda. Uma lista real muda cerca de 24 ou 25 vezes. Uma com 35 mudanças aparece cerca de uma vez em cada 500 listas, e uma sem nenhuma sequência maior do que três cerca de duas vezes em 100.
Cada nova cor ou repete a anterior ou muda, metade das vezes cada, por isso 49 oportunidades de mudar dão, em média, 24,5 mudanças, com uma margem de cerca de 3,5 para cima ou para baixo. Trinta e cinco estão três dessas margens acima da média; uma roda equilibrada produz tantas mudanças cerca de uma vez em cada 500 listas.
As sequências contam a mesma história. Uma lista real de 50 tem uma sequência de quatro ou mais cerca de 98% das vezes, e a sua sequência mais longa é, na maioria dos casos, de cinco ou seis.
As pessoas a quem se pede que inventem uma lista aleatória mudam de cor vezes demais, porque uma sequência de quatro ou cinco lhes parece um padrão. Taylor (2021) mostra o mesmo indício em listas de lançamentos de moeda inventadas por estudantes: o verdadeiro acaso tem mais sequências do que as pessoas esperam.
Um livro de histórias de casino fala de um jogador cujo número saiu cinco vezes seguidas e chama a isso um recorde. Quão raro é isso numa roda europeia? E com que frequência deveria acontecer algures num casino com 20 mesas, cada uma com 40 lançamentos por hora, dia e noite?
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Resposta Um número indicado de antemão cinco vezes seguidas: 1 em 69 milhões. Qualquer número que saia mais quatro vezes depois de aparecer pela primeira vez: 1 em 1,87 milhões. Esse casino faz cerca de 7 milhões de lançamentos por ano, por isso deveria ver uma sequência de cinco três ou quatro vezes por ano.
Um número indicado sai com probabilidade 1/37 em cada lançamento, por isso cinco vezes seguidas têm probabilidade (1/37)⁵ = 1 em 69 343 957. Mas ninguém indica o número de antemão. Saia o que sair primeiro, os quatro lançamentos seguintes têm de o repetir: (1/37)⁴ = 1 em 1 874 161.
20 mesas × 40 lançamentos × 24 horas × 365 dias = 7 008 000 lançamentos por ano. Cada lançamento pode iniciar uma sequência, pelo que o casino espera 7 008 000/1 874 161 ≈ 3,7 sequências de cinco por ano.
Não existe nenhum recorde oficial deste tipo, nem é preciso: um acontecimento raro numa mesa é rotineiro num casino inteiro, e as histórias contam-se sobre a mesa onde aconteceu. A história, em Goldman (2007), passa-se numa roda de duplo zero, onde os valores são 1 em 79 milhões e 1 em 2,09 milhões.
Pausa cómica
As sequências longas são o aspeto do aleatório.
Fontes
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.