Problema: A roda dos aniversários
Quantos lançamentos até algum número se repetir? Muito menos do que a maioria das pessoas calcula.
O problema dos aniversários numa roda de 37 compartimentosequipamentoCompartimentoUma das 37 divisões numeradas do rotor. Também: célula, alvéolo.Ler tudo →: ao fim de apenas 8 lançamentos, há uma probabilidade superior a metade de algum número já ter saído duas vezes. Os jogadores leem as repetições como padrões; são o comportamento esperado de uma roda equilibrada.
O problema
Faça girar uma roda europeia equilibrada. Quantos lançamentos são precisos até a probabilidadematemáticaProbabilidadeMedida da possibilidade de um resultado, de 0 a 1 ou de 0% a 100%. Um número: 1/37 = 2,70%.Ler tudo → de pelo menos dois lançamentos terem dado o mesmo número exceder um meio? A maioria dos jogadores calcula algo à volta de 18 ou 19, metade de 37. A resposta é 8.
A solução
Calcule a probabilidade de não haver repetição e subtraia-a de um. Após k lançamentos, p(todos diferentes) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). Para k = 8: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, pelo que p(alguma repetição) ≈ 0,56. Para k = 14 é 0,93; para k = 20 é 0,996. A intuição falha porque o número de pares de lançamentos cresce como k², e qualquer par pode coincidir.
Porque é que isto importa na mesa
Um painel de resultados com os últimos 20 números mostrará quase sempre pelo menos uma repetição, muitas vezes duas ou três. Os jogadores veem “o 17 saiu duas vezes em 10 lançamentos” e concluem que o 17 está quente; a aritmética dos aniversários diz que uma repetição em 10 lançamentos acontece 74% das vezes e o número repetido é aleatório. O padrão é real; o significado não é.
O problema seguinte
Quantos lançamentos até um número específico, digamos o 17, ter saído duas vezes? É uma pergunta diferente, com uma resposta muito maior: a espera esperada é de 74 lançamentos, e a probabilidade de dois 17 em 20 lançamentos é cerca de 10%. A diferença entre “algum número repete-se” (8 lançamentos) e “este número repete-se” (74 lançamentos) é toda a diferença entre um padrão que se nota depois e uma previsão que se faz de antemão.
Experimente
Execute o Jogo de demonstração durante 10 lançamentos e veja o histórico. Normalmente haverá uma repetição. Execute-o de novo. O número repetido será diferente. Faça isto 10 vezes e terá visto o problema dos aniversáriosmatemáticaProblema dos aniversáriosQuantas pessoas são precisas até que duas façam provavelmente anos no mesmo dia, ou quantos lançamentos até que um número provavelmente se repita. Numa roda de 37 compartimentos, 8 lançamentos chegam para uma probabilidade de mais de metade.Ler tudo →; faça-o mil vezes (os simuladores conseguem) e terá medido o problema.
Fórmula
Perguntas
Exatamente, com 37 compartimentos em vez de 365 dias. 23 pessoas dão 50% nos aniversários; 8 lançamentos dão 56% na roda.
50% após cerca de 19 lançamentos. Continua a ser rotina.
Não. Milhares de lançamentos de uma só roda sugeririam; uma repetição nunca.
Matemática por prazer
Tente primeiro resolvê-los sozinho. Cada solução está escondida; abra-a quando estiver pronto.
Um painel de resultados ao lado de uma roda americana mostra os últimos 16 lançamentos. Qual é a probabilidade de nenhum número aparecer duas vezes?
Mostrar a solução
Resposta Cerca de 2,5%: aproximadamente 39 painéis em 40 mostram pelo menos uma repetição.
Vá lançamento a lançamento. O primeiro pode ser qualquer um. O segundo tem de lhe fugir: 37 possibilidades em 38. O terceiro tem de fugir aos dois: 36 em 38. O décimo sexto tem de fugir a quinze números: 23 em 38.
Multiplique: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
O painel sem repetições é que é raro. Um painel com uma repetição não diz nada sobre a roda.
Em dez lançamentos de uma roda europeia, qual é a probabilidade de o 17 sair exatamente cinco vezes? De algum número, seja ele qual for, sair cinco ou mais vezes? E de algum número sair pelo menos três vezes em quatro lançamentos?
Mostrar a solução
Resposta 17 exatamente cinco vezes: 1 em 315 576. Algum número cinco ou mais vezes: cerca de 1 em 8333. Algum número três ou mais vezes em quatro lançamentos: 1 em 349.
17 cinco vezes: escolhem-se quais os cinco dos dez lançamentos, 252 maneiras, cada uma com probabilidade (1/37)⁵ × (36/37)⁵. No total, 1 em 315 576.
Algum número: cada um dos 37 números tem uma probabilidade de 1 em 308 325 de sair cinco ou mais vezes, o que dá 37 em 308 325, ou 1 em 8333. O caso raro de dois números com cinco acertos cada é contado duas vezes, mas retirá-lo não muda nada com esta precisão.
Três vezes em quatro lançamentos: para um número, 4 × 36 + 1 = 145 dos 37⁴ resultados possíveis; para qualquer dos 37 números, 145/37³ = 1 em 349.
O Wizard of Odds respondeu às versões de duplo zerorodaZeroO único compartimento verde, que nenhuma aposta simples, dúzia ou coluna cobre; a origem da vantagem da casa. Também: zero único, 0.Ler tudo → destas perguntas; os nossos números para essa roda são 1 em 359 275, 1 em 9243 e 1 em 368. A diferença entre “o 17” e “algum número” é, outra vez, o problema dos aniversáriosmatemáticaProblema dos aniversáriosQuantas pessoas são precisas até que duas façam provavelmente anos no mesmo dia, ou quantos lançamentos até que um número provavelmente se repita. Numa roda de 37 compartimentos, 8 lançamentos chegam para uma probabilidade de mais de metade.Ler tudo →: há 37 maneiras de ser surpreendido.
Pausa cómica
Algo se repete cedo. Esse algo é aleatório.
Fontes
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, perguntas sobre roleta.