Teste do qui-quadrado
O teste padrão para “estas 37 contagens são o que uma roda equilibrada produziria?”
χ² = Σ (observado − esperado)² / esperado sobre os 37 compartimentos. Compare-se com a distribuição do qui-quadrado com 36 graus de liberdade para obter um valor-p.
Como se calcula
A contagem esperada por compartimentoequipamentoCompartimentoUma das 37 divisões numeradas do rotor. Também: célula, alvéolo.Ler tudo → é n/37. Para cada compartimento, eleva-se ao quadrado a diferença entre o observado e o esperado e divide-se pelo esperado; somam-se os 37 termos. Uma roda equilibrada dá valores à volta de 36 em média (os graus de liberdadelaboratórioGraus de liberdadeO número de valores independentes numa estatística. Num teste do qui-quadrado com 37 compartimentos são 36, porque as contagens têm de somar o total.Ler tudo →), com um desvio-padrãomatemáticaDesvio-padrãoRaiz quadrada da variância; a distância típica entre um resultado e o valor esperado.Ler tudo → de cerca de 8,5. Acima de 51,0 é significativo ao nível de 5%; acima de 58,6, a 1%. O Analisador de viés da roda calcula a estatística e o valor-plaboratórioValor-pA probabilidade de observar um desvio pelo menos tão grande como o observado se a roda fosse equilibrada.Ler tudo → exato a partir da função gama incompleta regularizada.
Um exemplo resolvido
1000 lançamentos. Trinta e seis compartimentos ficam entre 20 e 34 acertos; o compartimento 8 tem 41. O esperado é 27,03. Só o termo do compartimento 8 é (41 − 27,03)²/27,03 = 7,2. Suponha-se que os outros 36 termos somam 38 (típico). χ² = 45,2 com 36 gl, p ≈ 0,14. Não é significativo: uma roda equilibrada faz isto uma vez em cada sete. O compartimento 8 é um candidato, não uma conclusão, e a resposta é mais mil lançamentos.
Pressupostos
Lançamentos independentesmatemáticaLançamentos independentesCada lançamento tem as mesmas probabilidades, independentemente do historial. A base de todos os cálculos deste site.Ler tudo → e contagens esperadas de pelo menos 5 por compartimento, o que significa n ≥ 185 para o teste ser sequer válido e muito mais para ser útil. Juntar lançamentos de várias rodas viola, em espírito, o primeiro pressuposto (está-se a testar uma mistura, não uma roda). Um efeito de assinatura do croupier violá-lo-ia de facto e inflacionaria o χ² sem que nenhum compartimento estivesse fisicamente favorecido.
Pearson e Monte Carlo
Karl Pearson publicou o teste em 1900 e um dos seus primeiros exemplos resolvidos foram 26 306 lançamentos de roleta registados em Monte Carlo, que considerou demasiado pouco uniformes para serem fruto do acaso, declarando que “a roleta de Monte Carlo… não é um jogo de azar”. Autores posteriores concluíram que os jornalistas que registaram os lançamentos para um jornal tinham inventado muitos deles, o que é, por si só, uma lição sobre a proveniência dos dados.
Pearson publica o teste de ajustamento do qui-quadrado, com lançamentos de Monte Carlo como exemplo.
Os dados dos lançamentos são postos em causa; os registadores parecem ter fabricado sequências.
Fisher formaliza os graus de liberdade; a convenção dos 5% impõe-se.
Os estatísticos usam lançamentos de roleta como dados de manual para testes de uniformidade.
A família García-Pelayo aplica o método a dados reais registados e ganha em Madrid.
Os casinos aplicam o mesmo teste às suas próprias rodas como manutenção de rotina.
Um teste real: rodas automáticas em Las Vegas
Os jogadores suspeitam muitas vezes de que uma roda automática desvia a bolaequipamentoBolaA pequena bola lançada ao longo da pista no sentido contrário ao do rotor. As bolas modernas são de ivorine ou de Teflon, com 18–21 mm.Ler tudo → das apostas grandes. Em 2017, o Wizard of Odds pôs a suspeita à prova nas rodas de duplo zerorodaZeroO único compartimento verde, que nenhuma aposta simples, dúzia ou coluna cobre; a origem da vantagem da casa. Também: zero único, 0.Ler tudo → sem croupier da Interblock, em Las Vegas, apostando num arco de cinco números vizinhos, o tipo de aposta que faz quem cronometra a roda. Em 299 lançamentos, o arco ganhou 29 vezes contra 39,3 esperadas, um défice que uma roda equilibrada produz cerca de 4% das vezes. O qui-quadrado sobre os 38 compartimentos foi de 45,29 com 37 graus de liberdade: p = 16,5%. Uma segunda amostra de 1204 lançamentos em três rodas deu χ² = 34,79, p = 57%, e nenhum arco de qualquer tamanho que ele experimentou foi significativo. As duas amostras juntas, 1503 lançamentos, deram χ² = 41,75, p = 27%. O veredicto: nenhum indício de que a roda dirigisse a bola. A primeira amostra, sozinha, parecia suspeita; foi a segunda que resolveu a questão.
Para além do qui-quadrado
Para um único compartimento suspeito, um teste binomial é mais potente. Para um arco suspeito, o teste z de setorrodaSetorUm arco contíguo de compartimentos na roda, por oposição a um grupo no pano.Ler tudo → da página de análise de setores. O qui-quadrado é o teste global: diz que algo está errado sem dizer o quê. Use-se primeiro e observe-se depois.
Fórmula
Perguntas
As 37 contagens têm de somar n, pelo que só 36 podem variar livremente.
Uma roda com um compartimento a 1/25 em 10 000 lançamentos daria só por si um termo de cerca de 70 nesse compartimento; um χ² muito acima de 100, com p efetivamente zero.
Tecnicamente sim, com 5,4 esperados por compartimento. Não detetará nada que não seja uma roda com um compartimento tapado com cola.
Pausa cómica
Some-se o quadrado das surpresas. Compare-se com 51,0.
Fontes
- Pearson, K. “On the criterion that a given system of deviations from the probable…”
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Organic Roulette Experiment.”