Convergência a longo prazo
Como a média se aproxima de −2,70%, e porque é que isso demora mais do que a intuição sugere.
A perda média por lançamento converge para −1/37 à medida que os lançamentos se acumulam, com uma dispersão que diminui como 1/√N. Após 1000 lançamentos no vermelho, a média fica tipicamente a ±3% do seu valor esperado.
Lei dos grandes números
A média acumulada de apostas independentes tende para o valor esperadomatemáticaValor esperadoO resultado médio por aposta a longo prazo. −1/37 da aposta em todas as apostas normais da roleta europeia.Ler tudo →. Após N lançamentos de apostas simples de uma unidadedinheiroUnidadeA aposta base em que um sistema ou um jogador trabalha. As progressões são descritas em unidades para se aplicarem a qualquer mesa.Ler tudo →, o resultado médio por lançamento tem valor esperado −1/37 e desvio-padrãomatemáticaDesvio-padrãoRaiz quadrada da variância; a distância típica entre um resultado e o valor esperado.Ler tudo → 1/√N. Com N = 100, essa dispersão é 10% da aposta, quase quatro vezes o sinal de 2,7%. Com N = 1000, é 3,2%, aproximadamente o mesmo que o sinal. Com N = 10 000, é 1%, e a vantagem é claramente visível. A vantagem é invisível numa sessão e inequívoca num ano.
O que converge e o que não converge
A média por lançamento converge. O total não: afasta-se cada vez mais de zero à medida que N cresce, cerca de 2,7% de N em valor esperado, com uma dispersão de √N em torno disso. Um jogador que fez 10 000 lançamentos de $10 deve estar a perder $2700, com uma margem de $1000 para cada lado. A proporção acumulada de vermelhosapostaVermelhoAposta simples nos 18 números vermelhos. Em francês: rouge.Ler tudo → estabilizou há muito perto de 48,65%; o saldo acumulado não estabilizou em lado nenhum.
- p10 −$440
- p25 −$280
- mediana −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
Porque a intuição falha
As pessoas esperam que a vantagem se note depressa, porque 2,70% parece muito, e esperam que as sequências longas se “compensem” porque a lei dos grandes númerosmatemáticaLei dos grandes númerosA média de resultados independentes converge para o valor esperado à medida que o número de ensaios aumenta.Ler tudo → diz que as médias convergem. Ambas as intuições avaliam mal a escala: a vantagem é pequena em relação à variânciamatemáticaVariânciaUma medida de quão amplamente os resultados se dispersam em torno do valor esperado. Alta no pleno, baixa nas apostas simples.Ler tudo → de um único lançamento (σ = 1 unidade contra VE = 0,027), pelo que são precisos (1/0,027)² ≈ 1400 lançamentos para se tornar visível a um sigma. E a convergência da média não faz nada para puxar o total de volta; apenas dilui as flutuações passadas.
Convergência noutras apostas
Para os plenosapostaPlenoUm único número, paga 35:1.Ler tudo →, σ = 5,84, pelo que o mesmo cálculo dá (5,84/0,027)² ≈ 47 000 lançamentos para a vantagem chegar a um sigma. Um jogador de plenos pode jogar durante anos sem que a vantagem se distinga da sorte nos seus próprios registos, pagando exatamente os mesmos 2,70% que o jogador do vermelho, que a vê em poucas semanas.
Implicação para o teste de sistemas
Quem afirmar que um sistema funciona deve conseguir demonstrá-lo ao longo de 10 000 ou mais lançamentos, com uma média positiva documentada. Com 1000 lançamentos, uma média positiva em apostas simples é um acontecimento de um em cinco sob a hipótese nula; com 100 lançamentos, é quase um cara ou coroa. Os simuladores deste site executam 2000 sessões da duração que escolher num segundo, o que é mais prova do que qualquer testemunho.
Fórmula
Perguntas
A probabilidadematemáticaProbabilidadeMedida da possibilidade de um resultado, de 0 a 1 ou de 0% a 100%. Um número: 1/37 = 2,70%.Ler tudo → de voltar a estar em terreno positivo tende para zero à medida que joga. O total desce sem limite.
Não. Significa que as flutuações passadas se tornam uma fração menor de uma amostra maior.
Em apostas simples, cerca de 10 000 até a vantagem ser claramente visível. Em plenos, cerca de 50 000.
Matemática por prazer
Tente primeiro resolvê-los sozinho. Cada solução está escondida; abra-a quando estiver pronto.
Dois amigos jogam 20 rondas de um jogo justomatemáticaJogo justoUm jogo em que nenhum dos lados tem vantagem: todas as apostas têm um valor esperado de zero.Ler tudo →, cara ou coroa ou vermelhoapostaVermelhoAposta simples nos 18 números vermelhos. Em francês: rouge.Ler tudo → contra pretoapostaPretoAposta simples nos 18 números pretos. Em francês: noir.Ler tudo → com os zerosrodaZeroO único compartimento verde, que nenhuma aposta simples, dúzia ou coluna cobre; a origem da vantagem da casa. Também: zero único, 0.Ler tudo → devolvidos, e vão registando a pontuação. Conte as rondas em que cada um está à frente (um empate conta para quem liderava imediatamente antes). O que é mais provável: que a liderança seja repartida 10 rondas contra 10, ou que um dos amigos lidere as 20?
Mostrar a solução
Resposta Um amigo liderar as 20 rondas é muito mais provável: 35,2%, contando qualquer dos dois, contra 6,1% para um 10 contra 10 equilibrado.
A probabilidade de uma pontuação justa estar empatada após 2k rondas é u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0,246 após 10 rondas e 0,176 após 20. Um resultado clássico, a lei do arco-seno, diz que a probabilidade de um amigo escolhido liderar exatamente 2k de 2n rondas é u(2k) × u(2n − 2k).
Liderar as 20: u(20) × u(0) = 0,176 para cada amigo, 35,2% para qualquer dos dois. Uma repartição igual: u(10) × u(10) = 0,246² = 6,1%, a repartição menos provável de todas.
Portanto, num jogo justo a liderança raramente muda de mãos. Um jogador que esteve à frente a noite toda, ou atrás a noite toda, não viu nada de invulgar, e isso nada diz sobre a roda nem sobre a habilidade. Epstein (2013) apresenta a mesma lei para jogos mais longos: metade das vezes, o lado com mais sorte lidera durante mais de 85% do jogo.
Pausa cómica
A média converge. O total limita-se a partir.
Fontes
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.