O critério de Kelly e a roleta

O critério

John Kelly (1956) perguntou como deve um jogador com vantagem conhecida dimensionar as apostas para maximizar o crescimento da bancadinheiroBancaO montante total reservado para jogar. A gestão de banca consiste em decidir que parte dela arriscar por aposta e por sessão.Ler tudo → a longo prazo. A resposta, para uma aposta que paga b para 1, com probabilidadematemáticaProbabilidadeMedida da possibilidade de um resultado, de 0 a 1 ou de 0% a 100%. Um número: 1/37 = 2,70%.Ler tudo → de ganho p e probabilidade de perda q = 1 − p, é apostar a fração f* = (bp − q) / b da banca. Um f* positivo significa apostar essa fração; zero ou negativo significa não apostar. Kelly trabalhava nos Bell Labs, e o seu artigo, “A new interpretation of information rate”, enquadrou o problema na teoria da informação de Claude Shannon: um jogador que recebe palpites por uma linha com ruído, com odds justas, pode fazer crescer a banca, no máximo, ao ritmo a que a linha transmite informação. Em 1961, Leo Breiman demonstrou que a aposta de Kelly, a longo prazo, acaba à frente de qualquer estratégia essencialmente diferente e atinge um objetivo fixado praticamente no menor tempo possível.

Aplicado à roleta

Para o vermelhoapostaVermelhoAposta simples nos 18 números vermelhos. Em francês: rouge.Ler tudo →: b = 1, p = 18/37, q = 19/37; f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37. Para um plenoapostaPlenoUm único número, paga 35:1.Ler tudo →: b = 35, p = 1/37, q = 36/37; f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295. Todas as apostas padrão dão uma fração de Kelly negativa, porque todas as apostas têm vantagem negativa, e a aposta ótima para o crescimento é zero. Kelly é uma forma formal de dizer o que diz a página da vantagem da casa: não existe tamanho de aposta com o qual uma aposta de expectativa negativa faça crescer uma banca.

Onde Kelly se aplicou

Os jogadores de viés tinham uma vantagem e um problema de dimensionamento. Jagger, os García-Pelayo e os Eudaemons tiveram todos de decidir quanto apostar na vantagem que mediram, e apostar de menos desperdiça a vantagem, ao passo que apostar de mais arrisca a ruína antes de a vantagem se mostrar. Para um compartimentoequipamentoCompartimentoUma das 37 divisões numeradas do rotor. Também: célula, alvéolo.Ler tudo → que sai 1 vez em 30, Kelly indica 0,57% da banca por lançamento nesse número: com $10 000, cerca de $57 por lançamento, para um crescimento típico de cerca de 0,054% por lançamento, ou ×1,7 em 1000 lançamentos. O ganho médio é o dobro, 0,11% por lançamento, mas Kelly visa a banca típica, não a média, que algumas sequências de sorte inflacionam. Metade de Kelly é a escolha prática habitual, porque a estimativa da vantagem é incerta.

Jogadores de roleta famososOs Eudaemons

Típico e médio

A distância entre a banca típica e a banca média é grande. Tome-se um compartimento que sai 1 vez em 25, uma vantagem de 44%, o valor que Thorp indica para o seu dispositivo. Kelly aposta nele 1,26% da banca. Ao fim de 1000 lançamentos, a banca típica cresceu cerca de 11,5 vezes, enquanto a média, puxada para cima por algumas sequências de muita sorte, cresceu cerca de 249 vezes. Apostar mais do que Kelly aumenta a média e baixa o resultado típico: com o dobro da aposta de Kelly, a banca típica só duplica, e com duas vezes e meia a aposta de Kelly já encolhe, embora cada aposta continue a ter uma vantagem de 44%. Apostar menos custa pouco: metade da aposta conserva cerca de três quartos do crescimento.

Quando a vantagem é um palpite

Kelly pressupõe que a vantagem é conhecida. Na mesa, ela é estimada, e a estimativa costuma ser demasiado alta. O exemplo de Epstein, construído sobre os 44% de Thorp, é um número que saiu 49 vezes em 1225 lançamentos de uma roda de duplo zerorodaZeroO único compartimento verde, que nenhuma aposta simples, dúzia ou coluna cobre; a origem da vantagem da casa. Também: zero único, 0.Ler tudo →: 1 vez em 25, uma vantagem de 44%, uma aposta de Kelly de 1,26%. Mas uma roda equilibrada de duplo zero tem 38 números, e o mais frequente deles chega a 49 ou mais em 1225 lançamentos cerca de uma vez em nove. O número mais frequente de qualquer registo é também aquele que a sorte mais ajudou, pelo que mesmo um compartimento verdadeiramente enviesado parece melhor no registo do que é: a maldição do vencedor. Se esse compartimento for, afinal, equilibrado, a aposta de Kelly é simplesmente uma aposta que perde, em média, 5,26%. As respostas habituais são apostar uma fração de Kelly e continuar a contar até a vantagem resistir a um registo novo (ver Como detetar o viés da roda).

Pessoas com vantagem

Conhecer a vantagem não é o mesmo que usá-la bem. Haghani e Dewey (2016) deram $25 a cada uma de 61 pessoas para apostarem durante meia hora numa moeda que, segundo lhes disseram, saía cara 60% das vezes, com os ganhos limitados a $250 (os jogadores só souberam do limite ao atingi-lo). Kelly manda apostar sempre 20% da banca em cara, e os autores estimam que apostas constantes de 10–20% chegariam ao limite cerca de 95% das vezes. Só 21% dos jogadores lá chegaram. 28% ficaram sem nada, 18 dos 61 apostaram tudo num único lançamento da moeda, cerca de um terço acabou abaixo dos $25 com que começou, e o pagamentodinheiroPagamentoO que uma aposta vencedora devolve, indicado como “X para 1” além da aposta devolvida.Ler tudo → médio foi de $91. Só cinco dos 61 tinham ouvido falar do critério de Kelly. Com vantagem, o tamanho das apostas decide se a conserva; sem ela, como numa roda equilibrada, nenhum tamanho ajuda.

O que usar em vez disso

Sem vantagem, o dimensionamento é uma questão de orçamento, não de crescimento: a aposta é o que está disposto a gastar por lançamento, calculado a partir do orçamento por hora e do ritmo da mesa (página de gestão de banca). O contributo de Kelly para o jogador comum é a clareza da sua resposta: zero. Tudo o que apostar acima de zero é o preço de jogar, escolhido por si, não otimizado por qualquer fórmula.

Uma nota sobre o Kelly fracionário e a “gestão de dinheiro”

Os sistemas vendidos como “Kelly para a roleta” que recomendam uma percentagem fixa da banca por aposta são apostas fixasestratégiaAposta fixaApostar o mesmo montante em todos os lançamentos. A referência com a qual todas as progressões são comparadas.Ler tudo → com uma aposta decrescente. Perdem 2,70% do volume de apostasdinheiroVolume de apostasO montante total apostado ao longo de uma sessão ou de um período, contando os ganhos reapostados. Também: handle, action.Ler tudo → e, como a aposta diminui à medida que perde, tornam a ruína lenta em vez de improvável. É uma forma razoável de fazer um orçamento durar; não é Kelly, que diria para parar.

Aposta fixa

Fórmula

Perguntas