Risco de ruína

A pergunta

Tem a unidadesdinheiroUnidadeA aposta base em que um sistema ou um jogador trabalha. As progressões são descritas em unidades para se aplicarem a qualquer mesa.Ler tudo → de bancadinheiroBancaO montante total reservado para jogar. A gestão de banca consiste em decidir que parte dela arriscar por aposta e por sessão.Ler tudo → e quer chegar a a + b unidades, apostando uma unidade de cada vez numa aposta simplesapostaAposta simplesVermelho/preto, ímpar/par, alto/baixo. 18 números, paga 1:1.Ler tudo → com probabilidadematemáticaProbabilidadeMedida da possibilidade de um resultado, de 0 a 1 ou de 0% a 100%. Um número: 1/37 = 2,70%.Ler tudo → de ganho p = 18/37 e probabilidade de perda q = 19/37. Qual é a probabilidade de atingir o objetivo antes de chegar a zero? A resposta foi calculada por Pascal, Fermat e Huygens na década de 1650 e é um dos resultados mais antigos da probabilidade.

Blaise Pascal

A fórmula da ruína do jogador

P(atingir o objetivo) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). O risco de ruínamatemáticaRisco de ruínaProbabilidade de perder a banca inteira antes de atingir um objetivo ou um número de lançamentos.Ler tudo → é um menos isso. Com q/p = 19/18 ≈ 1,0556, a razão cresce exponencialmente com o número de unidades, pelo que a fórmula pune severamente as unidades pequenas: quanto mais apostas são precisas para atingir o objetivo, mais vezes se paga a portagem de 2,70% pelo caminho.

Como a ler

As unidades pequenas prejudicam. Tentar duplicar $500 com apostas de $10 resulta 6% das vezes; com uma única aposta de $500 resulta 48,6% das vezes. O jogo audaz, com menos apostas e maiores, maximiza a probabilidade de atingir um objetivo num jogo de expectativa negativa, porque minimiza o número de vezes que a vantagem é aplicada. Também maximiza a variânciamatemáticaVariânciaUma medida de quão amplamente os resultados se dispersam em torno do valor esperado. Alta no pleno, baixa nas apostas simples.Ler tudo → do que lhe acontece, e termina a noite depressa. O teorema chama-se “o jogo audaz é ótimo” e foi demonstrado por Dubins e Savage em 1965.

Onde o problema começou

A pergunta é mais antiga do que a roleta. Em 1656, Pascal propôs a Fermat um problema: dois jogadores lançam três dados, cada um começando com 12 tentos; um lançamento de 11 faz passar um tento para um lado, um lançamento de 14 para o outro. Ambos o resolveram, e Huygens, que soube dele por uma carta do matemático Pierre de Carcavi, publicou-o em 1657 como o quinto problema do primeiro livro sobre probabilidades, com a resposta e sem demonstração. O onze pode sair de 27 maneiras e o catorze só de 15, por isso cada tento passa para o lado do primeiro jogador 9 vezes em 14, e a fórmula acima, com 12 tentos cada um, torna cerca de 1157 vezes mais provável que ele ganhe tudo do que perca tudo. Uma vantagem de 2,70% é muito menor, mas a mesma fórmula mostra o que ela faz ao longo de muitas apostas.

Uma aposta audaz a sério

Em abril de 2004, Ashley Revell, um jovem inglês, vendeu quase tudo o que tinha, incluindo a roupa, e levou $135 300 para o Plaza, em Las Vegas. Depois de algumas apostas pequenas, pôs o montante inteiro no vermelhoapostaVermelhoAposta simples nos 18 números vermelhos. Em francês: rouge.Ler tudo →, uma única vez. A bolaequipamentoBolaA pequena bola lançada ao longo da pista no sentido contrário ao do rotor. As bolas modernas são de ivorine ou de Teflon, com 18–21 mm.Ler tudo → caiu no 7 vermelho e ele saiu com $270 600. Numa roda de duplo zerorodaZeroO único compartimento verde, que nenhuma aposta simples, dúzia ou coluna cobre; a origem da vantagem da casa. Também: zero único, 0.Ler tudo →, esse único lançamento tinha uma probabilidade de 47,37% e custou-lhe em média $7121, a vantagem de 5,26% sobre uma aposta. Repartido por apostas de $10, o mesmo objetivo teria sido quase impossível. O jogo audaz não torna a aposta boa; torna-a o mais curta possível.

Risco de ruína sem objetivo

Se simplesmente jogar até perder tudo ou parar após N lançamentos, a pergunta passa a ser “qual é a probabilidade de a minha banca chegar a zero em N lançamentos?”. Não há fórmula fechada para um N geral, mas os simuladores deste site calculam-na: uma banca de $500 com $10 no vermelho quase nunca se esgota em 100 lançamentos (menos de 1%), esgota-se cerca de 9% das vezes em 500 lançamentos e cerca de 95% das vezes em 5000. Sem regra de paragem, a probabilidade tende para 100%, que é a versão a longo prazo da vantagem da casamatemáticaVantagem da casaA parte de cada aposta que o casino retém em média: 2,70% na roleta europeia.Ler tudo →.

Convergência a longo prazo

Quanto tempo dura e até onde se sobe

Dois outros resultados clássicos respondem a perguntas que os jogadores fazem de facto. Sem objetivo, as apostas simples de valor fixo duram, em média, 37 lançamentos por cada unidade de banca numa roda europeia e 19 numa americana, porque cada lançamento leva, em média, 1/37 de unidade (1/19 numa roda americana): 100 unidades duram em média 3700 lançamentos, embora metade dessas sessões termine em 3134 ou menos (ver Duração e custo da sessão). E, por maior que seja a banca, a probabilidade numa roda europeia de alguma vez estar k unidades acima do ponto de partida é (18/19)ᵏ. São 95% para uma unidade e 58% para dez, mas não há banca, por maior que seja, que dê sequer uma probabilidade em duas de alguma vez estar 13 unidades acima; numa roda americana, a probabilidade é (9/10)ᵏ e desce abaixo de metade às 7 unidades.

Duração e custo da sessãoRoleta americana

Uma banca para ter uma probabilidade em duas

Inverta-se a pergunta: quanto tem de trazer para ter pelo menos uma probabilidade em duas de ganhar um dado montante antes de perder tudo? Para um ganho pequeno, não muito. Para um maior, a banca necessária sobe a pique e, a partir de certo ponto, nenhuma banca chega, porque mesmo uma banca infinita dá menos de uma probabilidade em duas de alguma vez ficar tão à frente. Taylor (2021) di-lo de outra maneira: numa roda americana, para ter uma probabilidade em duas de chegar a 100 unidades, é preciso começar com 94, arriscando 94 para ganhar 6. Numa roda europeia seriam precisas 88.

A lição prática

Decida o que pretende. Se o objetivo é um ganho específico, faça poucas apostas, de valor elevado. Se o objetivo é uma noite longa, aposte valores pequenos e aceite que a vantagem ficará com os seus 2,70% de um volume de apostasdinheiroVolume de apostasO montante total apostado ao longo de uma sessão ou de um período, contando os ganhos reapostados. Também: handle, action.Ler tudo → elevado. Se o objetivo são ambos, algo tem de ceder, e normalmente é o objetivo.

Fórmula

Perguntas