Problema: Quanto tempo até ao zero
O zero sai num lançamento em cada 37, em média. Quanto tempo se espera na realidade, e o que isso faz a quem aposta em apostas simples?
A espera pelo zero é geométrica: média de 37 lançamentos, mediana de 25, e uma espera em cada 20 excede 110 lançamentos. Numa sessão de 200 lançamentos, quem aposta em apostas simples espera 5,4 zeros e verá entre 1 e 10.
O problema
O zerorodaZeroO único compartimento verde, que nenhuma aposta simples, dúzia ou coluna cobre; a origem da vantagem da casa. Também: zero único, 0.Ler tudo → tem probabilidadematemáticaProbabilidadeMedida da possibilidade de um resultado, de 0 a 1 ou de 0% a 100%. Um número: 1/37 = 2,70%.Ler tudo → 1/37 por lançamento. (a) Qual é a probabilidade de não sair zero nos próximos 37 lançamentos? (b) Qual é a espera mediana? (c) Numa sessão de 200 lançamentos com apostas simples, quantos zeros deve um jogador esperar, e qual é o intervalo?
Soluções
(a) (36/37)³⁷ = 36,3%. Em mais de um terço das vezes passam 37 lançamentos sem nenhum zero, o que é a mesma aritmética de “pelo menos um acerto num plenoapostaPlenoUm único número, paga 35:1.Ler tudo → em 37 lançamentos” ser apenas 63,7%. (b) A espera W é geométrica; p(W > k) = (36/37)ᵏ; a mediana é o k em que isto cruza 0,5, ou seja, k ≈ 25. Metade das esperas é de 25 lançamentos ou menos e metade é mais longa; a média de 37 é puxada para cima pela cauda longa. (c) Os zeros em 200 lançamentos são binomiais, com média 200/37 = 5,4 e desvio-padrãomatemáticaDesvio-padrãoRaiz quadrada da variância; a distância típica entre um resultado e o valor esperado.Ler tudo → √(200 × (1/37) × (36/37)) ≈ 2,3. Um intervalo de 95% é aproximadamente de 1 a 10.
O que o zero custa a quem aposta em apostas simples
Cada zero custa uma aposta, e os zeros são toda a vantagem no vermelhoapostaVermelhoAposta simples nos 18 números vermelhos. Em francês: rouge.Ler tudo →: em 37 lançamentos médios, os 18 ganhos e as 18 perdas anulam-se, e o único zero é o −1/37. Numa sessão de 200 lançamentos a $10, os 5,4 zeros esperados custam $54, que é exatamente 200 × $10 / 37. Uma sessão com 2 zeros teve $34 de boa sorte; uma sessão com 9 zeros teve $36 de má sorte, e vai parecer manipulada. Numa mesa com la partageregraLa partageRegra francesa: quando sai o zero, é devolvida metade de uma aposta simples. Reduz para metade a vantagem da casa nessas apostas, para 1,35%.Ler tudo →, cada zero custa meia aposta e os valores reduzem-se a metade.
A pergunta seguinte
Qual é a probabilidade de saírem dois zeros seguidos? (1/37)² = 1/1369. Num casino com 20 mesas a 50 lançamentos por hora, isso dá cerca de um duplo zerovarianteDuplo zeroO compartimento 00 da roda americana. A sua presença eleva a vantagem da casa de 2,70% para 5,26%.Ler tudo → nalgum lado a cada 1,4 horas. Os jogadores que o veem concluem que a roda está avariada; a aritmética diz que é uma terça-feira qualquer.
Experimente
O Simulador de sessões conta os zeros por sessão. Execute 100 lançamentos algumas centenas de vezes e represente a contagem: aparecerá o histograma acima, com a sua cauda longa à direita. É na cauda que nascem as histórias.
Fórmula
Perguntas
Não numa equilibrada. Numa roda enviesadalaboratórioRoda enviesadaUma roda cujos defeitos físicos tornam alguns compartimentos mais prováveis do que 1/37. Rara, detetável apenas com milhares de lançamentos registados.Ler tudo → qualquer compartimentoequipamentoCompartimentoUma das 37 divisões numeradas do rotor. Também: célula, alvéolo.Ler tudo → poderia ser, e seriam precisos milhares de lançamentos para o perceber.
É uma aposta de 2,70% como todas as outras. Altera a forma da sessão (um zero passa a ser um ganho) e não o custo.
Porque a distribuição das esperas é assimétrica: muitas esperas curtas, algumas muito longas.
Pausa cómica
Média 37, mediana 25, e uma cauda longa onde vivem as lendas.
Fontes
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.