Problema: O limite da mesa
Uma Martingale de $10 numa mesa de $500. Com que frequência quebra, quanto perde quando quebra, e aumentar o limite ajuda?
Seis perdas seguidas quebram-na: 1,8% por ciclo, cerca de 60% das sessões de 100 lançamentos. A quebra custa $630. Aumentar o limite para $5000 torna a quebra mais rara (0,25% por ciclo) e maior ($5110). A perda esperada por dólar apostado é 2,70% com qualquer limite.
O problema
Um jogador aposta $10 no vermelhoapostaVermelhoAposta simples nos 18 números vermelhos. Em francês: rouge.Ler tudo → e duplica depois de cada perda, voltando ao início após um ganho. O máximo da mesa é $500. (a) Quantas perdas consecutivas quebram a progressãoestratégiaProgressãoQualquer regra que altera a aposta em função dos resultados anteriores. As progressões negativas aumentam-na após as perdas, as positivas após os ganhos.Ler tudo →? (b) Qual é a probabilidadematemáticaProbabilidadeMedida da possibilidade de um resultado, de 0 a 1 ou de 0% a 100%. Um número: 1/37 = 2,70%.Ler tudo → por ciclo? (c) Quanto se perde na quebra? (d) Como mudam as respostas com um limite de $5000? (e) Algum limite torna o sistema rentável?
Soluções (a)–(c)
Apostas: 10, 20, 40, 80, 160, 320. A sétima seria 640 > 500, por isso seis perdas quebram-na. (b) p(perda) = 19/37 no vermelho; (19/37)⁶ = 0,0183, cerca de 1,8% por ciclo. Um ciclo dura em média cerca de dois lançamentos, pelo que uma sessão de 100 lançamentos tem aproximadamente 50 ciclos e p(pelo menos uma quebra) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, o que são 63 unidadesdinheiroUnidadeA aposta base em que um sistema ou um jogador trabalha. As progressões são descritas em unidades para se aplicarem a qualquer mesa.Ler tudo → base, contra os $10 que o ciclo tentava ganhar.
Solução (d)
Com $5000: são permitidas apostas até 2560; a décima aposta, 5120, é recusada. Nove perdas quebram-na: (19/37)⁹ ≈ 0,25% por ciclo, cerca de 11% das sessões de 100 lançamentos. Perda na quebra: 10 + 20 + … + 2560 = $5110. O jogador comprou uma catástrofe mais rara ao preço de uma maior. Ao longo de muitas sessões, o custo esperado das quebras é p × perda ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 por ciclo com o limite de $500 e 0,0025 × 5110 = $12,8 com $5000; é, a menos de arredondamentos, o mesmo número, e é a perda esperadamatemáticaPerda esperadaValor esperado vezes o montante total apostado; o montante perdido em média ao longo de uma sessão ou de um período.Ler tudo → do ciclo menos os $10 que os ciclos ganhos rendem.
Solução (e)
Não. Perda esperada por ciclo = (aposta total esperada no ciclo) / 37, com qualquer limite, porque cada aposta é −1/37 de si própria. O limite apenas decide como a perda se distribui entre muitos ganhos pequenos e poucas perdas grandes. Sem limite e com bancadinheiroBancaO montante total reservado para jogar. A gestão de banca consiste em decidir que parte dela arriscar por aposta e por sessão.Ler tudo → infinita, a progressão “funcionaria”, no sentido de que nunca quebraria, e apostaria também um montante ilimitado, com perda esperada de 2,70% desse montante ilimitado. O limite da mesamesaLimite da mesaAposta mínima e máxima permitidas. O máximo é o que trava as progressões de duplicação.Ler tudo → não é o que impede a MartingaleestratégiaMartingaleProgressão que duplica a aposta após cada perda. Veja na secção Estratégia o que faz e o que não faz.Ler tudo → de funcionar. A aritmética é.
Duas mesas reais
O exemplo de Thorp é uma mesa de $1 com um máximo de $1000, onde um jogador espera ganhar $30 para o jantar, um dólar de cada vez. Os valores 1, 2, 4 … 512 permitem dez apostas, por isso dez perdas seguidas quebram a progressão: uma vez em cada 785 ciclos numa roda europeia (uma vez em 613 numa americana), com um custo de $1023. Os trinta ciclos são todos bem-sucedidos 96,2% das vezes. Nos outros 3,8% perde-se cerca de $1000, e o resultado médio da noite é −$9,17, exatamente 1/37 dos $339 que os trinta ciclos apostam em média. Uma mesa de $5 com um máximo de $2000 não é diferente: apostas até $1280 permitem nove apostas, e a quebra surge uma vez em cada 403 ciclos numa roda europeia (uma vez em 323 numa americana) e custa $2555.
Um jogador rico
Dê-se à progressão uma banca funda em vez de um limite baixo: 1000 unidades, base de uma unidade e 1000 lançamentos no vermelho, recomeçando com uma unidade sempre que a duplicação seguinte exceda o que resta. Simulámos um milhão de noites assim. Numa roda europeia, 52% terminam em terreno positivo, 21% perdem tudo e o resultado médio é −124 unidades. Mesmo num jogo sem zerorodaZeroO único compartimento verde, que nenhuma aposta simples, dúzia ou coluna cobre; a origem da vantagem da casa. Também: zero único, 0.Ler tudo →, em que todas as apostas são justas, só cerca de 60% terminariam em terreno positivo. A noite habitual é um pequeno ganho; a média é paga pelas noites que acabam a zero.
A lição
Os casinos fixam limites para conter a sua própria variânciamatemáticaVariânciaUma medida de quão amplamente os resultados se dispersam em torno do valor esperado. Alta no pleno, baixa nas apostas simples.Ler tudo →, não para derrotar sistemas. Derrotar a Martingale é um efeito secundário que lhes agrada, e a aritmética derrotá-la-ia de qualquer forma. Um jogador que pense que o limite é o problema localizou o precipício e confundiu-o com a encosta.
Fórmula
Perguntas
Permite-lhe chegar a um limite mais alto, onde a quebra é mais rara e maior. A perda esperada por dólar não se altera.
Apostas de 10, 30, 70, 150, 310: o limite de $500 é atingido após cinco perdas, e a quebra custa $570. Os mesmos 2,70%.
Para que um só jogador não possa apostar mais do que a reserva do casino consegue pagar com tranquilidade. Gestão da variância.
Matemática por prazer
Tente primeiro resolvê-los sozinho. Cada solução está escondida; abra-a quando estiver pronto.
Uma MartingaleestratégiaMartingaleProgressão que duplica a aposta após cada perda. Veja na secção Estratégia o que faz e o que não faz.Ler tudo → começa com $100 no vermelhoapostaVermelhoAposta simples nos 18 números vermelhos. Em francês: rouge.Ler tudo → e permite-se no máximo n apostas por ciclo: depois de n perdas seguidas, desiste e recomeça. Escreva o resultado médio de um ciclo como fórmula em n e calcule-o para 5, 6 e 7 apostas numa roda europeia.
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Resposta A média é 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14,26 para 5 apostas, −$17,35 para 6 e −$20,52 para 7. Permitir mais apostas torna o ciclo médio pior, não melhor.
Um ciclo ganha $100, a não ser que as n apostas percam todas, o que acontece com probabilidade qⁿ, em que q = 19/37. Quando perdem todas, as apostas 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ somam 100 × (2ⁿ − 1). Assim, a média é 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Aqui 2q = 38/37, um pouco mais do que 1, por isso (2q)ⁿ cresce com n e a média desce: n = 5 dá 1,1426 e −$14,26; n = 6 dá 1,1735 e −$17,35; n = 7 dá 1,2052 e −$20,52. Uma escada mais longa perde com menos frequência, em 3,6%, 1,8% e 0,9% dos ciclos, mas cada perda é duas vezes maior, e passa mais dinheiro pela mesa em cada ciclo, a 2,70% de cada aposta.
Numa roda americana, 2q = 40/38 e os valores são −$29,24, −$36,04 e −$43,20 (Taylor, 2021). Num jogo sem zerorodaZeroO único compartimento verde, que nenhuma aposta simples, dúzia ou coluna cobre; a origem da vantagem da casa. Também: zero único, 0.Ler tudo →, 2q = 1, e todos os ciclos dão em média exatamente zero, por mais longa que seja a escada.
A “grande Martingale” duplica a aposta após uma perda e acrescenta uma unidadedinheiroUnidadeA aposta base em que um sistema ou um jogador trabalha. As progressões são descritas em unidades para se aplicarem a qualquer mesa.Ler tudo →, pelo que as apostas são 1, 3, 7, 15, 31 … Quanto lucro tem quando o primeiro ganho chega na 1.ª, 2.ª, 3.ª ou k-ésima aposta? Com uma unidade de $10 e um máximo de $500, com que frequência se quebra um ciclo, e quanto custa um ciclo em média?
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Resposta Um ganho na k-ésima aposta deixa-o com k unidades de lucro: +1, +2, +3 e assim por diante. Com $10 e $500, o ciclo quebra-se após cinco perdas, em 3,57% dos ciclos, com −$570. Em média, um ciclo perde $2,32 em $85,73 apostados: 2,70%.
A k-ésima aposta é de 2ᵏ − 1 unidades: 1, 3, 7, 15, 31. As primeiras k − 1 apostas somam 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. Um ganho na k-ésima aposta paga 2ᵏ − 1, pelo que o ciclo termina com (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k unidades de lucro: uma unidade a mais por cada perda antes do ganho.
Com $10 por unidade, as apostas são $10, $30, $70, $150 e $310; a seguinte, $630, ultrapassa o máximo de $500. Cinco perdas seguidas, (19/37)⁵ = 3,57%, custam 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Média: os ganhos trazem $10 × k com probabilidade (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 para k = 1 a 5, e a quebra leva $570 com probabilidade 3,57%; no conjunto, −$2,32. O dinheiro apostado é em média $85,73 por ciclo, e 2,32/85,73 = 2,70%. A Martingale normal na mesma mesa quebra após seis perdas, em 1,83% dos ciclos, com −$630, e perde $1,74 em $64,20 apostados: de novo 2,70%.
Um jogador planeia uma Martingale no vermelho com uma primeira aposta de $1 numa mesa cujo limite é $1000, pelo que são possíveis dez apostas: $1, $2, $4 e assim por diante até $512. Com que frequência um ciclo perde as dez, quanto tempo demora isso em média, e com que frequência uma noite de 200 apostas acaba assim?
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Resposta Um ciclo perde as dez cerca de uma vez em 784, o que custa $1023. Isso são cerca de 1600 apostas em média, e uma noite de 200 apostas bate na parede cerca de 11% das vezes. Mesmo assim, um ciclo perde em média $0,31 em $11,31 apostados: 2,70%.
Uma aposta no vermelho perde com probabilidade 19/37, zero incluído. Dez seguidas: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, cerca de 1 em 784. As apostas 1 + 2 + 4 + … + 512 somam $1023.
Um ciclo leva em média 2,05 apostas, pelo que 784 ciclos levam cerca de 1600 apostas. Contando lançamento a lançamento, uma sequência de dez perdas aparece algures em 200 apostas 11,3% das vezes.
Entre desastres, o jogador ganha $1 por ciclo: cerca de $783 antes do mau, depois −$1023, cerca de −$240 em todo o período. Por ciclo: 1 × (1 − 0,00128) − 1023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Dinheiro apostado por ciclo: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. E −0,31/11,31 = −2,70%.
Compare com uma primeira aposta de $10 com um limite de $500, seis apostas: a parede chega uma vez em 55 ciclos, e uma noite de 200 apostas encontra-a 84% das vezes. Um limite mais alto torna o desastre mais raro e maior, não mais barato.
Pausa cómica
Mais rara e maior, em todos os limites. O produto é constante.
Fontes
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.