Fibonacci
As apostas seguem 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… Avance um passo após uma perda, recue dois após um ganho.
Não vence a roda; nenhum plano de apostas vence. É mais suave do que a Martingale, pelo que sobrevive a sequências de perdas mais longas antes de chegar ao limite e recupera mais devagar. A perda esperada é a mesma: 2,70% do volume de apostasdinheiroVolume de apostasO montante total apostado ao longo de uma sessão ou de um período, contando os ganhos reapostados. Também: handle, action.Ler tudo →.
Como se constrói a sequência
Cada número é a soma dos dois anteriores.
Assim, depois de 8 e 13 vem 21.
Desenhe cada número como um quadrado e os quadrados encaixam uns nos outros: cada novo quadrado tem o comprimento dos dois anteriores postos lado a lado. Um quarto de círculo em cada quadrado, e os arcos unem-se numa espiral.
Percorra a sequência
Uma perda avança um passo para a direita. Um ganho recua dois passos.
As apostas e os resultados estão em unidades da aposta base.
Como funciona o sistema Fibonacci?
Escreva os números de FibonacciestratégiaFibonacciProgressão que segue a sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…: um passo em frente após uma perda, dois passos atrás após um ganho.Ler tudo →: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144. Cada um é a soma dos dois anteriores. Comece no primeiro e aposte esse número de unidadesdinheiroUnidadeA aposta base em que um sistema ou um jogador trabalha. As progressões são descritas em unidades para se aplicarem a qualquer mesa.Ler tudo →. Se perder, avança um passo para a direita. Se ganhar, recua dois passos para a esquerda, ou volta ao início se não houver espaço. O sistema é só isto. A tabela mostra quanto custa cada passo: uma sequência de perdas cortada pelo limite da mesamesaLimite da mesaAposta mínima e máxima permitidas. O máximo é o que trava as progressões de duplicação.Ler tudo → ou pela sua bancadinheiroBancaO montante total reservado para jogar. A gestão de banca consiste em decidir que parte dela arriscar por aposta e por sessão.Ler tudo → perde a soma de tudo o que foi apostado até então.
Como é uma sessão?
Tome uma base de $10 e oito lançamentos: P P G P P P G G. As apostas são 10, 10, 20 (ganho, recua dois, para o passo 1), 10, 10, 20, 30 (ganho, recua dois, para o passo 2), 10 (ganho, volta ao início). Perdido: 10 + 10 + 10 + 10 + 20 = 60. Ganho: 20 + 30 + 10 = 60. Cinco perdas, três ganhos, e está no ponto de partida. É esse o atrativo do sistema. O custo está na mesma linha: foram precisos $120 em apostas para lá chegar, e cada dólar apostado carrega a vantagem da casamatemáticaVantagem da casaA parte de cada aposta que o casino retém em média: 2,70% na roleta europeia.Ler tudo →.
Porque recuar dois passos e não um?
Porque um ganho paga exatamente duas perdas. Cada número é a soma dos dois anteriores, pelo que um ganho com 5 unidades devolve o 2 e o 3 perdidos logo antes. Pense numa escada: um degrau acima por cada perda, dois degraus abaixo por cada ganho. O degrau em que está é a sua dívida. No degrau 5 está 7 unidades abaixo, no degrau 8 está 33 abaixo, e de volta ao primeiro degrau está exatamente a zero. O lucro vem apenas dos ganhos no primeiro degrau, uma unidade de cada vez.
Com quase tantos ganhos como perdas, dois degraus por um parece um bom negócio, e na maior parte das vezes a escada leva mesmo de volta para baixo. O senão é que os degraus ficam mais altos à medida que se sobe. Dez ganhos no primeiro degrau rendem 10 unidades. Três perdas nos passos 6, 7 e 8 custam 8 + 13 + 21 = 42.
- p10 −$500
- p25 −$500
- mediana −$500
- p75 +$250
- p90 +$920
O sistema Fibonacci funciona?
Não. Não como forma de sair a ganhar. O cálculo é o mesmo de todos os sistemas: cada aposta perde, em média, 1/37 do seu valor, pelo que a sequência inteira perde 1/37 de tudo o que foi apostado. Uma sequência famosa não muda isso, porque a roda paga na mesma proporção seja qual for o tamanho da fichadinheiroFichaUma peça que representa um montante fixo, colocada no pano para fazer uma aposta. Também: cheque.Ler tudo →. As apostas Fibonacci tendem a subir, pelo que o sistema aposta mais por lançamento do que a aposta fixaestratégiaAposta fixaApostar o mesmo montante em todos os lançamentos. A referência com a qual todas as progressões são comparadas.Ler tudo →, e a sua perda esperadamatemáticaPerda esperadaValor esperado vezes o montante total apostado; o montante perdido em média ao longo de uma sessão ou de um período.Ler tudo → por sessão é maior. A MartingaleestratégiaMartingaleProgressão que duplica a aposta após cada perda. Veja na secção Estratégia o que faz e o que não faz.Ler tudo → aposta ainda mais, e perde mais.
É mais seguro do que a Martingale?
É mais lento, o que não é a mesma coisa. As apostas Fibonacci crescem cerca de 1,6× por passo em vez de 2×, pelo que um limite de $500 é atingido após cerca de dez perdas consecutivas a partir de uma base de $10, em vez de seis. Isso torna o precipício mais raro: dez perdas seguidas numa aposta simples é (19/37)¹⁰ ≈ 0,13%, contra (19/37)⁶ ≈ 1,8% para seis. Mas o precipício também é mais alto, porque se apostou mais pelo caminho, e um único ganho não o desfaz.
De onde vêm os números?
De um problema sobre coelhos. Leonardo de Pisa, mais tarde apelidado Fibonacci, apresentou-o no seu Liber Abaci, de 1202: comece com um casal, deixe cada casal produzir um novo casal todos os meses a partir do seu segundo mês, e conte os casais. A resposta é 1, 2, 3, 5, 8, 13. Não foi o primeiro a encontrar a regra. Estudiosos indianos do ritmo do verso tinham-na registado antes: Singh (1985) atribui-a a Virahanka, entre 600 e 800, e depois a Gopala e Hemachandra.
Nenhum deles tinha uma roda em mente. As fontes aqui usadas não dizem quem foi o primeiro a apostar dinheiro segundo a sequência. O que mostram é que a sua aritmética e a aritmética da roleta nunca se encontram: uma diz como crescem as apostas, a outra diz o que cada aposta devolve.
Quanto se perde após uma sequência de perdas?
Duas identidades tornam a tabela acima fácil de verificar. Após n perdas seguidas, o total perdido é o (n + 2).º número de Fibonacci menos 1, o que dá 1, 2, 4, 7, 12, 20 e assim por diante, e a aposta seguinte é o (n + 1).º número de Fibonacci. Bollman (2021) demonstra o mesmo resultado por indução para uma sequência que começa em 1, 2, 3, o que desloca cada número uma posição. Com um limite de 500 unidades e início em 1 unidade, a Martingale não consegue fazer a 10.ª aposta, 512 unidades. A Fibonacci consegue fazer a 14.ª, 377 unidades, mas não a 15.ª, 610.
O que muda numa dúzia ou numa coluna?
Numa dúziaapostaDúzia1–12, 13–24 ou 25–36, paga 2:1.Ler tudo → ou numa colunaapostaColunaDoze números numa coluna vertical do pano, paga 2:1.Ler tudo →, que paga 2 para 1, o recuo não é necessário. Um ganho com aposta F paga 2F, que é sempre mais do que tudo o que se perdeu antes, por isso cada ganho termina a sequência a ganhar. O preço é que uma dúzia só ganha 12 vezes em 37, pelo que as longas séries de perdas são muito mais comuns: catorze perdas seguidas numa dúzia acontecem cerca de uma vez em 242 tentativas, contra cerca de uma vez em 11 000 no vermelhoapostaVermelhoAposta simples nos 18 números vermelhos. Em francês: rouge.Ler tudo →.
E se só parar após dois ganhos seguidos?
Outra variante avança um passo após cada lançamento, ganho ou perdido, e só para após dois ganhos seguidos. Com n perdas antes dos dois ganhos, o lucro é o (n + 1).º número de Fibonacci mais 1: pequeno quando os ganhos chegam cedo, maior quando chegam tarde, e ganho com apostas que cresceram na mesma medida. Um par de ganhos cedo vem sempre com apostas pequenas; um tardio pode exigir uma aposta grande exatamente no momento em que a sessão está pior.
Simulador · Fibonacci
2000 sessões de apostas simples a partir de uma banca de $1000.
Aposta base $10 · limite da mesa $500 · 100 lançamentos por sessão
Com que frequência surge uma sequência de perdas
Uma aposta simples numa roda de zero único perde 19 lançamentos em 37. Cada linha é a probabilidade de todos os lançamentos de uma dada sequência perderem, e o que um jogador de Fibonacci, que avança um passo na sequência após cada perda, já perdeu até aí.
| perdas seguidas | probabilidade | cerca de 1 em | já perdido | aposta seguinte |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $1 |
| 2 | 26,4% | 4 | $2 | $2 |
| 3 | 13,5% | 7 | $4 | $3 |
| 4 | 7,0% | 14 | $7 | $5 |
| 5 | 3,6% | 28 | $12 | $8 |
| 6 | 1,8% | 55 | $20 | $13 |
| 7 | 0,94% | 106 | $33 | $21 |
| 8 | 0,48% | 207 | $54 | $34 |
| 9 | 0,25% | 403 | $88 | $55 |
| 10 | 0,13% | 784 | $143 | $89 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $232 | $144 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $376 | $233 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $609 | $377 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $986 | $610 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $1596 | $987 |
A probabilidade é 19/37 multiplicado por si mesmo uma vez por cada perda, contada a partir de um dado lançamento. Uma sessão longa tem muitos lançamentos em que uma sequência destas pode começar, pelo que ao longo de uma noite é muito mais provável do que uma linha sugere.
Perguntas
Sim: avança após um ganho, recua após uma perda. Comporta-se como um ParoliestratégiaParoliProgressão positiva: duplicar após um ganho, voltar ao início após uma perda ou após três ganhos seguidos. Também: Martingale invertida.Ler tudo → mais lento.
Matemática por prazer
Tente primeiro resolvê-los sozinho. Cada solução está escondida; abra-a quando estiver pronto.
Jogue a variante que avança um passo na sequência depois de cada lançamento, ganhe ou perca, e para ao fim de dois ganhos seguidos: apostas de 1, 1, 2, 3, 5, 8 e assim por diante. Os primeiros catorze resultados são G P G P P P G P P P G P P G. Qual é a sua situação, e qual é a aposta seguinte?
Mostrar a solução
Resposta Está a perder 22 unidadesdinheiroUnidadeA aposta base em que um sistema ou um jogador trabalha. As progressões são descritas em unidades para se aplicarem a qualquer mesa.Ler tudo →. A aposta seguinte é de 610 unidades, e um ganho terminaria a sessão com 588 de lucro.
As apostas são os primeiros catorze números de FibonacciestratégiaFibonacciProgressão que segue a sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…: um passo em frente após uma perda, dois passos atrás após um ganho.Ler tudo →: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 e 377. Some os ganhos e subtraia as perdas: +1 −1 +2 −3 −5 −8 +13 −21 −34 −55 +89 −144 −233 +377 = −22.
O último resultado foi um ganho, por isso mais um ganho termina a sessão. A aposta seguinte é de 610: um ganho deixa +588, uma perda deixa −632 e uma aposta seguinte de 987.
A variante termina sempre a ganhar, mas aqui precisa de uma aposta de 610 unidades para o conseguir. Com as regras habituais, recuar dois passos depois de um ganho, os mesmos catorze resultados deixam-no a perder apenas 1 unidade, com uma aposta seguinte de 2. Bollman (2021), que começa a sequência em 1, 2, 3, fica a perder 1 unidade, com uma aposta seguinte de 3. As regras habituais perdem menos aqui porque cada ganho faz descer as apostas.
lançamentoapostaresultadosaldo acumulado11G+121P032G+243P−155P−668P−14713G−1821P−22934P−561055P−1111189G−2212144P−16613233P−39914377G−22Na mesma variante, porque é que n perdas seguidas de dois ganhos deixam sempre um lucro igual ao (n + 1).º número de Fibonacci mais 1?
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Resposta As n perdas somam o (n + 2).º número de Fibonacci menos 1, e os dois ganhos são os dois números seguintes, que juntos superam essa soma pelo (n + 1).º número mais 1.
Escreva F₁, F₂, F₃ … para 1, 1, 2, 3, 5 … Cada número é a soma dos dois anteriores.
As perdas: F₁ + F₂ + … + Fₙ. Some 1 a essa soma, escrito como F₂, e ela vai-se encolhendo: F₂ + F₁ = F₃, depois F₃ + F₂ = F₄, e assim por diante, até a soma toda ser Fₙ₊₂. Portanto, as perdas totalizam Fₙ₊₂ − 1.
Os ganhos são as duas apostas seguintes, Fₙ₊₁ e Fₙ₊₂. Lucro: Fₙ₊₁ + Fₙ₊₂ − (Fₙ₊₂ − 1) = Fₙ₊₁ + 1. Com quatro perdas, isso dá F₅ + 1 = 6 unidades.
Pausa cómica
A razão de ouro encontra o cartaz da aposta máxima.
Fontes
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Bollman, M. Mathematics of the Big Four Casino Table Games: Blackjack, Baccarat, Craps, & Roulette.
- Sigler, L. E. Fibonacci’s Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonardo Pisano’s Book of Calculation.
- Singh, P. The so-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India.